Theorem metds0 24739

Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
metds0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metds0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metdscn.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2	1	metdsf 24737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3	2	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4		ssel2 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
5	4	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	3, 5	ffvelcdmd 7057	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
7		eliccxr 13396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
9	8	xrleidd 13112	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴))
10		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
12	1	metdsge 24738	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
13	10, 11, 5, 8, 12	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
14	9, 13	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)
15		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
16	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
18	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
19		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝐴))
20		xblcntr 24299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹‘𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl112anc 1376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
22		inelcm 4428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ≠ ∅)
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ≠ ∅)
24	23	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < (𝐹‘𝐴) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ≠ ∅))
25	24	necon2bd 2941	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴)))
26	14, 25	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴))
27		elxrge0 13418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
28	27	simprbi 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
29	6, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
30		0xr 11221	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
31		xrleloe 13104	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
32	30, 8, 31	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
33	29, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
34	33	ord 864	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
35	26, 34	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 = (𝐹‘𝐴))
36	35	eqcomd 2735	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  infcinf 9392  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  [,]cicc 13309  ∞Metcxmet 21249  ballcbl 21251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-2 12249  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-icc 13313  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-bl 21259

This theorem is referenced by:  metdsle  24741  metnrmlem1  24748