MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metds0 24135
Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metds0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24133 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
323adant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
4 ssel2 3938 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
543adant1 1131 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
63, 5ffvelcdmd 7031 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
7 eliccxr 13281 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
98xrleidd 13000 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
10 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
11 simp2 1138 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
121metdsge 24134 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
1310, 11, 5, 8, 12syl31anc 1374 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
149, 13mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
15 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑆)
1610adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
175adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
188adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
20 xblcntr 23686 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1375 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
22 inelcm 4423 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) β‰  βˆ…)
2315, 21, 22syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) β‰  βˆ…)
2423ex 414 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) β‰  βˆ…))
2524necon2bd 2958 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ… β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄)))
2614, 25mpd 15 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄))
27 elxrge0 13303 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
2827simprbi 498 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
296, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
30 0xr 11136 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
31 xrleloe 12992 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
3230, 8, 31sylancr 588 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
3329, 32mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
3433ord 863 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
3526, 34mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄))
3635eqcomd 2744 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704  ballcbl 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-2 12150  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714
This theorem is referenced by:  metdsle  24137  metnrmlem1  24144
  Copyright terms: Public domain W3C validator