Proof of Theorem metds0
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | metdscn.f |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, <
)) |
2 | 1 | metdsf 23028 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) |
3 | 2 | 3adant3 1166 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) |
4 | | ssel2 3822 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋) |
5 | 4 | 3adant1 1164 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋) |
6 | 3, 5 | ffvelrnd 6614 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) |
7 | | elxrge0 12578 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤
(𝐹‘𝐴))) |
8 | 7 | simplbi 493 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈
ℝ*) |
9 | 6, 8 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ∈
ℝ*) |
10 | 9 | xrleidd 12278 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴)) |
11 | | simp1 1170 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
12 | | simp2 1171 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋) |
13 | 1 | metdsge 23029 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)) |
14 | 11, 12, 5, 9, 13 | syl31anc 1496 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)) |
15 | 10, 14 | mpbid 224 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅) |
16 | | simpl3 1250 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑆) |
17 | 11 | adantr 474 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) |
18 | 5 | adantr 474 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋) |
19 | 9 | adantr 474 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈
ℝ*) |
20 | | simpr 479 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝐴)) |
21 | | xblcntr 22593 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 <
(𝐹‘𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) |
22 | 17, 18, 19, 20, 21 | syl112anc 1497 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) |
23 | | inelcm 4258 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ≠ ∅) |
24 | 16, 22, 23 | syl2anc 579 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ≠ ∅) |
25 | 24 | ex 403 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < (𝐹‘𝐴) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) ≠ ∅)) |
26 | 25 | necon2bd 3015 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴))) |
27 | 15, 26 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴)) |
28 | 7 | simprbi 492 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴)) |
29 | 6, 28 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴)) |
30 | | 0xr 10410 |
. . . . . 6
⊢ 0 ∈
ℝ* |
31 | | xrleloe 12270 |
. . . . . 6
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤
(𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))) |
32 | 30, 9, 31 | sylancr 581 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))) |
33 | 29, 32 | mpbid 224 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))) |
34 | 33 | ord 895 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴))) |
35 | 27, 34 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → 0 = (𝐹‘𝐴)) |
36 | 35 | eqcomd 2831 |
1
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝐴) = 0) |