MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metds0 24688
Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metds0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 24686 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
323adant3 1129 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4 ssel2 3969 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
543adant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
63, 5ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
7 eliccxr 13409 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
98xrleidd 13128 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
10 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝑆𝑋)
121metdsge 24687 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
1310, 11, 5, 8, 12syl31anc 1370 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
149, 13mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
15 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑆)
1610adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
175adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
188adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
19 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
20 xblcntr 24239 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
22 inelcm 4456 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2315, 21, 22syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2423ex 412 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅))
2524necon2bd 2948 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
2614, 25mpd 15 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
27 elxrge0 13431 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
2827simprbi 496 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
296, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
30 0xr 11258 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
31 xrleloe 13120 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3230, 8, 31sylancr 586 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3329, 32mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
3433ord 861 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
3526, 34mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 = (𝐹𝐴))
3635eqcomd 2730 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cin 3939  wss 3940  c0 4314   class class class wbr 5138  cmpt 5221  ran crn 5667  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  infcinf 9432  0cc0 11106  +∞cpnf 11242  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246  [,]cicc 13324  ∞Metcxmet 21213  ballcbl 21215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-2 12272  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-icc 13328  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-bl 21223
This theorem is referenced by:  metdsle  24690  metnrmlem1  24697
  Copyright terms: Public domain W3C validator