MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metds0 23771
Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metds0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 23769 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
323adant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4 ssel2 3909 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
543adant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
63, 5ffvelrnd 6923 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
7 eliccxr 13047 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
98xrleidd 12766 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
10 simp1 1138 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simp2 1139 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝑆𝑋)
121metdsge 23770 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
1310, 11, 5, 8, 12syl31anc 1375 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
149, 13mpbid 235 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
15 simpl3 1195 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑆)
1610adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
175adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
188adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
19 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
20 xblcntr 23333 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1376 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
22 inelcm 4393 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2315, 21, 22syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2423ex 416 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅))
2524necon2bd 2957 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
2614, 25mpd 15 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
27 elxrge0 13069 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
2827simprbi 500 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
296, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
30 0xr 10904 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
31 xrleloe 12758 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3230, 8, 31sylancr 590 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3329, 32mpbid 235 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
3433ord 864 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
3526, 34mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 = (𝐹𝐴))
3635eqcomd 2744 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  cin 3879  wss 3880  c0 4251   class class class wbr 5067  cmpt 5149  ran crn 5566  wf 6393  cfv 6397  (class class class)co 7231  infcinf 9081  0cc0 10753  +∞cpnf 10888  *cxr 10890   < clt 10891  cle 10892  [,]cicc 12962  ∞Metcxmet 20372  ballcbl 20374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830  ax-pre-sup 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-id 5469  df-po 5482  df-so 5483  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-er 8411  df-map 8530  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-sup 9082  df-inf 9083  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-div 11514  df-2 11917  df-rp 12611  df-xneg 12728  df-xadd 12729  df-xmul 12730  df-icc 12966  df-psmet 20379  df-xmet 20380  df-bl 20382
This theorem is referenced by:  metdsle  23773  metnrmlem1  23780
  Copyright terms: Public domain W3C validator