MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metds0 23450
Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metds0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 23448 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
323adant3 1126 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4 ssel2 3960 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
543adant1 1124 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
63, 5ffvelrnd 6845 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
7 eliccxr 12815 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
98xrleidd 12537 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
10 simp1 1130 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝑆𝑋)
121metdsge 23449 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
1310, 11, 5, 8, 12syl31anc 1367 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
149, 13mpbid 234 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
15 simpl3 1187 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑆)
1610adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
175adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
188adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
19 simpr 487 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
20 xblcntr 23013 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
22 inelcm 4412 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2315, 21, 22syl2anc 586 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2423ex 415 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅))
2524necon2bd 3030 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
2614, 25mpd 15 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
27 elxrge0 12837 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
2827simprbi 499 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
296, 28syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
30 0xr 10680 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
31 xrleloe 12529 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3230, 8, 31sylancr 589 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3329, 32mpbid 234 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
3433ord 860 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
3526, 34mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 = (𝐹𝐴))
3635eqcomd 2825 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  cin 3933  wss 3934  c0 4289   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  infcinf 8897  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  [,]cicc 12733  ∞Metcxmet 20522  ballcbl 20524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-icc 12737  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-bl 20532
This theorem is referenced by:  metdsle  23452  metnrmlem1  23459
  Copyright terms: Public domain W3C validator