Theorem blcld 24400

Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcld	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnuni 24336	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	difeq1d 4091	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
5		difssd 4103	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋)
6		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
9		eldifi 4097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13		eldif 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆))
14		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
15	14	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
16		blcld.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
17	15, 16	elrab2 3665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
18	17	simplbi2 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑆))
19	18	con3dimp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
20	13, 19	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
22		xrltnle 11248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
23	6, 12, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
24	21, 23	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25		qbtwnxr 13167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
26	6, 12, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
27		qre 12919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
28	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	10	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31		rexr 11227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33	32	xnegcld 13267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
34	30, 33	xaddcld 13268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
35		blelrn 24312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
37		simprrr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦))
38		xposdif 13229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
39	32, 30, 38	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
40	37, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))
41		xblcntr 24306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
42	28, 29, 34, 40, 41	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
43		incom 4175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
44	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
45		xaddcom 13207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
46	32, 34, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
47		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		xnpcan 13219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
49	30, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
50	46, 49	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (𝑃𝐷𝑦))
51	30	xrleidd 13119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
52	50, 51	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
53		bldisj 24293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
54	28, 44, 29, 32, 34, 52, 53	syl33anc 1387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
55	43, 54	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅)
56		blssm 24313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
57	28, 29, 34, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
58		reldisj 4419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋 → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
60	55, 59	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
61	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 < 𝑥)
63	1, 16	blsscls2 24399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑥)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
64	28, 44, 61, 32, 62, 63	syl23anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
65	64	sscond 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
66	60, 65	sstrd 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
67		eleq2 2818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))))
68		sseq1 3975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
69	67, 68	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
70	69	rspcev 3591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
71	36, 42, 66, 70	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
72	71	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
73	27, 72	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
74	73	rexlimdva 3135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
75	26, 74	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
76	75	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
77	1	elmopn 24337	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
78	77	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
79	5, 76, 78	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
80	4, 79	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
81	1	mopntop 24335	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
82	81	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐽 ∈ Top)
83	16	ssrab3 4048	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋
84	83, 3	sseqtrid 3992	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
85		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
86	85	iscld2 22922	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
87	82, 84, 86	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
88	80, 87	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℚcq 12914  -_𝑒cxne 13076   +_𝑒 cxad 13077  ∞Metcxmet 21256  ballcbl 21258  MetOpencmopn 21261  Topctop 22787  Clsdccld 22910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cld 22913

This theorem is referenced by:  blcls  24401  lmle  25208  minveclem4  25339  lhop1lem  25925  ftalem3  26992  ubthlem1  30806