Theorem blcld 24833

Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcld	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnuni 24769	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	difeq1d 4061	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
5		difssd 4072	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋)
6		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
9		eldifi 4066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13		eldif 4048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆))
14		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
15	14	breq1d 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
16		blcld.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
17	15, 16	elrab2 3648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
18	17	simplbi2 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑆))
19	18	con3dimp 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
20	13, 19	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
21	20	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
22		xrltnle 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
23	6, 12, 22	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
24	21, 23	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25		qbtwnxr 13337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
26	6, 12, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
27		qre 13087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
28	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	10	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31		rexr 11362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33	32	xnegcld 13437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → -e𝑥 ∈ ℝ*)
34	30, 33	xaddcld 13438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) ∈ ℝ*)
35		blelrn 24745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
37		simprrr 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦))
38		xposdif 13399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)))
39	32, 30, 38	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)))
40	37, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥))
41		xblcntr 24739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)))
42	28, 29, 34, 40, 41	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)))
43		incom 4105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)))
44	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
45		xaddcom 13377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑥 +e ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) +e 𝑥))
46	32, 34, 45	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +e ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) +e 𝑥))
47		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		xnpcan 13389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) +e 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
49	30, 47, 48	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) +e 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
50	46, 49	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +e ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) = (𝑃𝐷𝑦))
51	30	xrleidd 13288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
52	50, 51	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +e ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
53		bldisj 24726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +e ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥))) = ∅)
54	28, 44, 29, 32, 34, 52, 53	syl33anc 1412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥))) = ∅)
55	43, 54	eqtrid 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅)
56		blssm 24746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ 𝑋)
57	28, 29, 34, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ 𝑋)
58		reldisj 4405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ 𝑋 → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
60	55, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
61	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 < 𝑥)
63	1, 16	blsscls2 24832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑥)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
64	28, 44, 61, 32, 62, 63	syl23anc 1404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
65	64	sscond 4081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
66	60, 65	sstrd 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
67		eleq2 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥))))
68		sseq1 3934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) → (𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
69	67, 68	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
70	69	rspcev 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +e -e𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
71	36, 42, 66, 70	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
72	71	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
73	27, 72	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
74	73	rexlimdva 3163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
75	26, 74	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
76	75	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
77	1	elmopn 24770	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
78	77	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
79	5, 76, 78	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
80	4, 79	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
81	1	mopntop 24768	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
82	81	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐽 ∈ Top)
83	16	ssrab3 4006	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋
84	83, 3	sseqtrid 3951	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
85		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
86	85	iscld2 23355	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
87	82, 84, 86	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
88	80, 87	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351  ℚcq 13082   -_ecxne 13245   +_e cxad 13246  ∞Metcxmet 21672  ballcbl 21674  MetOpencmopn 21677  Topctop 23220  Clsdccld 23343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cld 23346

This theorem is used by:  blcls  24834  lmle  25631  minveclem4  25762  lhop1lem  26342  ftalem3  27411  ubthlem1  31481