Theorem blcld 23200

Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcld	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnuni 23136	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	difeq1d 4028	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
5		difssd 4039	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋)
6		simpl3 1191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simpl2 1190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
9		eldifi 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 23026	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13		eldif 3869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆))
14		oveq2 7159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
15	14	breq1d 5043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
16		blcld.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
17	15, 16	elrab2 3606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
18	17	simplbi2 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑆))
19	18	con3dimp 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
20	13, 19	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
21	20	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
22		xrltnle 10739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
23	6, 12, 22	syl2anc 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
24	21, 23	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25		qbtwnxr 12627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
26	6, 12, 24, 25	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
27		qre 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
28	7	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	10	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31		rexr 10718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33	32	xnegcld 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
34	30, 33	xaddcld 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
35		blelrn 23112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
37		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦))
38		xposdif 12689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
39	32, 30, 38	syl2anc 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
40	37, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))
41		xblcntr 23106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
42	28, 29, 34, 40, 41	syl112anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
43		incom 4107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
44	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
45		xaddcom 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
46	32, 34, 45	syl2anc 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
47		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		xnpcan 12679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
49	30, 47, 48	syl2anc 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
50	46, 49	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (𝑃𝐷𝑦))
51	30	xrleidd 12579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
52	50, 51	eqbrtrd 5055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
53		bldisj 23093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
54	28, 44, 29, 32, 34, 52, 53	syl33anc 1383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
55	43, 54	syl5eq 2806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅)
56		blssm 23113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
57	28, 29, 34, 56	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
58		reldisj 4349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋 → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
60	55, 59	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
61	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 < 𝑥)
63	1, 16	blsscls2 23199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑥)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
64	28, 44, 61, 32, 62, 63	syl23anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
65	64	sscond 4048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
66	60, 65	sstrd 3903	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
67		eleq2 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))))
68		sseq1 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
69	67, 68	anbi12d 634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
70	69	rspcev 3542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
71	36, 42, 66, 70	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
72	71	expr 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
73	27, 72	sylan2 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
74	73	rexlimdva 3209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
75	26, 74	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
76	75	ralrimiva 3114	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
77	1	elmopn 23137	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
78	77	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
79	5, 76, 78	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
80	4, 79	eqeltrrd 2854	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
81	1	mopntop 23135	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
82	81	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐽 ∈ Top)
83	16	ssrab3 3987	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋
84	83, 3	sseqtrid 3945	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
85		eqid 2759	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
86	85	iscld2 21721	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
87	82, 84, 86	syl2anc 588	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
88	80, 87	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  {crab 3075   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  ∪ cuni 4799   class class class wbr 5033  ran crn 5526  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℝcr 10567  0cc0 10568  ℝ^*cxr 10705   < clt 10706   ≤ cle 10707  ℚcq 12381  -_𝑒cxne 12538   +_𝑒 cxad 12539  ∞Metcxmet 20144  ballcbl 20146  MetOpencmopn 20149  Topctop 21586  Clsdccld 21709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-inf 8933  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-topgen 16768  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-top 21587  df-topon 21604  df-bases 21639  df-cld 21712

This theorem is referenced by:  blcls  23201  lmle  23994  minveclem4  24125  lhop1lem  24705  ftalem3  25752  ubthlem1  28745