Theorem blcld 22687

Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcld	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnuni 22623	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	difeq1d 3956	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
5		difssd 3967	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋)
6		simpl3 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simpl1 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simpl2 1248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
9		eldifi 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 22513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13		eldif 3808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆))
14		oveq2 6918	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
15	14	breq1d 4885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
16		blcld.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
17	15, 16	elrab2 3589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
18	17	simplbi2 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑆))
19	18	con3dimp 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
20	13, 19	sylbi 209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
21	20	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
22		xrltnle 10431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
23	6, 12, 22	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
24	21, 23	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25		qbtwnxr 12326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
26	6, 12, 24, 25	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
27		qre 12083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
28	7	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	10	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30	12	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31		rexr 10409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrl 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33	32	xnegcld 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
34	30, 33	xaddcld 12426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
35		blelrn 22599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
37		simprrr 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦))
38		xposdif 12387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
39	32, 30, 38	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
40	37, 39	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))
41		xblcntr 22593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
42	28, 29, 34, 40, 41	syl112anc 1497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
43		incom 4034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
44	8	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
45		xaddcom 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
46	32, 34, 45	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
47		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		xnpcan 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
49	30, 47, 48	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
50	46, 49	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (𝑃𝐷𝑦))
51	30	xrleidd 12278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
52	50, 51	eqbrtrd 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
53		bldisj 22580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
54	28, 44, 29, 32, 34, 52, 53	syl33anc 1508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
55	43, 54	syl5eq 2873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅)
56		blssm 22600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
57	28, 29, 34, 56	syl3anc 1494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
58		reldisj 4246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋 → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
60	55, 59	mpbid 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
61	6	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62		simprrl 799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 < 𝑥)
63	1, 16	blsscls2 22686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑥)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
64	28, 44, 61, 32, 62, 63	syl23anc 1500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
65	64	sscond 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
66	60, 65	sstrd 3837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
67		eleq2 2895	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))))
68		sseq1 3851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
69	67, 68	anbi12d 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
70	69	rspcev 3526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
71	36, 42, 66, 70	syl12anc 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
72	71	expr 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
73	27, 72	sylan2 586	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
74	73	rexlimdva 3240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
75	26, 74	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
76	75	ralrimiva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
77	1	elmopn 22624	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
78	77	3ad2ant1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
79	5, 76, 78	mpbir2and 704	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
80	4, 79	eqeltrrd 2907	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
81	1	mopntop 22622	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
82	81	3ad2ant1 1167	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐽 ∈ Top)
83		ssrab2 3914	. . . . 5 ⊢ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ 𝑋
84	16, 83	eqsstri 3860	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋
85	84, 3	syl5sseq 3878	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
86		eqid 2825	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
87	86	iscld2 21210	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
88	82, 85, 87	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
89	80, 88	mpbird 249	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121   ∖ cdif 3795   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  ∪ cuni 4660   class class class wbr 4875  ran crn 5347  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399  ℚcq 12078  -_𝑒cxne 12236   +_𝑒 cxad 12237  ∞Metcxmet 20098  ballcbl 20100  MetOpencmopn 20103  Topctop 21075  Clsdccld 21198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cld 21201

This theorem is referenced by:  blcls  22688  lmle  23476  minveclem4  23607  lhop1lem  24182  ftalem3  25221  ubthlem1  28277