MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blcld 23877
Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
blcld.3 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅}
Assertion
Ref Expression
blcld ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
21mopnuni 23810 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
323ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
43difeq1d 4082 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) = (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆))
5 difssd 4093 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) βŠ† 𝑋)
6 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
7 simpl1 1192 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
8 simpl2 1193 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
9 eldifi 4087 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
109adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
11 xmetcl 23700 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
127, 8, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13 eldif 3921 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑆))
14 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑦 β†’ (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
1514breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑦 β†’ ((𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅))
16 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≀ 𝑅}
1715, 16elrab2 3649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅))
1817simplbi2 502 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝑋 β†’ ((𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅 β†’ 𝑦 ∈ 𝑆))
1918con3dimp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ Β¬ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅)
2013, 19sylbi 216 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆) β†’ Β¬ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅)
2120adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ Β¬ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅)
22 xrltnle 11227 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) β†’ (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ Β¬ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅))
236, 12, 22syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ Β¬ (𝑃𝐷𝑦) ≀ 𝑅))
2421, 23mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25 qbtwnxr 13125 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„š (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))
266, 12, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ β„š (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))
27 qre 12883 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„š β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
287adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2910adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑋)
3012adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31 rexr 11206 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
3332xnegcld 13225 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ -𝑒π‘₯ ∈ ℝ*)
3430, 33xaddcld 13226 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) ∈ ℝ*)
35 blelrn 23786 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∈ ran (ballβ€˜π·))
3628, 29, 34, 35syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∈ ran (ballβ€˜π·))
37 simprrr 781 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦))
38 xposdif 13187 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)))
3932, 30, 38syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)))
4037, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯))
41 xblcntr 23780 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)))
4228, 29, 34, 40, 41syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)))
43 incom 4162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) = ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ∩ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)))
448adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
45 xaddcom 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) +𝑒 π‘₯))
4632, 34, 45syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (π‘₯ +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) +𝑒 π‘₯))
47 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
48 xnpcan 13177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) +𝑒 π‘₯) = (𝑃𝐷𝑦))
4930, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) +𝑒 π‘₯) = (𝑃𝐷𝑦))
5046, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (π‘₯ +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) = (𝑃𝐷𝑦))
5130xrleidd 13077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑃𝐷𝑦) ≀ (𝑃𝐷𝑦))
5250, 51eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (π‘₯ +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ≀ (𝑃𝐷𝑦))
53 bldisj 23767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ≀ (𝑃𝐷𝑦))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ∩ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯))) = βˆ…)
5428, 44, 29, 32, 34, 52, 53syl33anc 1386 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ ((𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯) ∩ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯))) = βˆ…)
5543, 54eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ ((𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) = βˆ…)
56 blssm 23787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† 𝑋)
5728, 29, 34, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† 𝑋)
58 reldisj 4412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† 𝑋 β†’ (((𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) = βˆ… ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (((𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∩ (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) = βˆ… ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))))
6055, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)))
616adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
62 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝑅 < π‘₯)
631, 16blsscls2 23876 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < π‘₯)) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))
6428, 44, 61, 32, 62, 63syl23anc 1378 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ 𝑆 βŠ† (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯))
6564sscond 4102 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑋 βˆ– (𝑃(ballβ€˜π·)π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))
6660, 65sstrd 3955 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))
67 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯))))
68 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) β†’ (𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆) ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
6967, 68anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∧ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))))
7069rspcev 3580 . . . . . . . . . 10 (((𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∈ ran (ballβ€˜π·) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) ∧ (𝑦(ballβ€˜π·)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒π‘₯)) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
7136, 42, 66, 70syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
7271expr 458 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))))
7327, 72sylan2 594 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ β„š) β†’ ((𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))))
7473rexlimdva 3149 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ β„š (𝑅 < π‘₯ ∧ π‘₯ < (𝑃𝐷𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆))))
7526, 74mpd 15 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
7675ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))
771elmopn 23811 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 βˆ– 𝑆) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))))
78773ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑋 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 βˆ– 𝑆) βŠ† 𝑋 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑋 βˆ– 𝑆)βˆƒπ‘€ ∈ ran (ballβ€˜π·)(𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (𝑋 βˆ– 𝑆)))))
795, 76, 78mpbir2and 712 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽)
804, 79eqeltrrd 2835 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽)
811mopntop 23809 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
82813ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝐽 ∈ Top)
8316ssrab3 4041 . . . 4 𝑆 βŠ† 𝑋
8483, 3sseqtrid 3997 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
85 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
8685iscld2 22395 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽))
8782, 84, 86syl2anc 585 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½) ↔ (βˆͺ 𝐽 βˆ– 𝑆) ∈ 𝐽))
8880, 87mpbird 257 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ 𝑆 ∈ (Clsdβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {crab 3406   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  βˆͺ cuni 4866   class class class wbr 5106  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  β„šcq 12878  -𝑒cxne 13035   +𝑒 cxad 13036  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  Topctop 22258  Clsdccld 22383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386
This theorem is referenced by:  blcls  23878  lmle  24681  minveclem4  24812  lhop1lem  25393  ftalem3  26440  ubthlem1  29854
  Copyright terms: Public domain W3C validator