Theorem blcld 23109

Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blcld	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blcld

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopni.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnuni 23045	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
3	2	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
4	3	difeq1d 4097	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) = (∪ 𝐽 ∖ 𝑆))
5		difssd 4108	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋)
6		simpl3 1189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simpl1 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8		simpl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
9		eldifi 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑋)
10	9	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 22935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
12	7, 8, 10, 11	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
13		eldif 3945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆))
14		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑃𝐷𝑧) = (𝑃𝐷𝑦))
15	14	breq1d 5068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
16		blcld.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
17	15, 16	elrab2 3682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
18	17	simplbi2 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑆))
19	18	con3dimp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
20	13, 19	sylbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
21	20	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅)
22		xrltnle 10702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
23	6, 12, 22	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (𝑅 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝐷𝑦) ≤ 𝑅))
24	21, 23	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦))
25		qbtwnxr 12587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
26	6, 12, 24, 25	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))
27		qre 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
28	7	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
29	10	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
30	12	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*)
31		rexr 10681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
32	31	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
33	32	xnegcld 12687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
34	30, 33	xaddcld 12688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*)
35		blelrn 23021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
36	28, 29, 34, 35	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷))
37		simprrr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦))
38		xposdif 12649	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ*) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
39	32, 30, 38	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 < (𝑃𝐷𝑦) ↔ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
40	37, 39	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))
41		xblcntr 23015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 < ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
42	28, 29, 34, 40, 41	syl112anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
43		incom 4177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)))
44	8	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
45		xaddcom 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
46	32, 34, 45	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥))
47		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		xnpcan 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃𝐷𝑦) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
49	30, 47, 48	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) +𝑒 𝑥) = (𝑃𝐷𝑦))
50	46, 49	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) = (𝑃𝐷𝑦))
51	30	xrleidd 12539	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑃𝐷𝑦) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
52	50, 51	eqbrtrd 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))
53		bldisj 23002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ≤ (𝑃𝐷𝑦))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
54	28, 44, 29, 32, 34, 52, 53	syl33anc 1381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑃(ball‘𝐷)𝑥) ∩ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))) = ∅)
55	43, 54	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅)
56		blssm 23022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
57	28, 29, 34, 56	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋)
58		reldisj 4401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ 𝑋 → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∩ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) = ∅ ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))))
60	55, 59	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)))
61	6	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑅 < 𝑥)
63	1, 16	blsscls2 23108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑥)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
64	28, 44, 61, 32, 62, 63	syl23anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥))
65	64	sscond 4117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑋 ∖ (𝑃(ball‘𝐷)𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
66	60, 65	sstrd 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))
67		eleq2 2901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥))))
68		sseq1 3991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → (𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
69	67, 68	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) → ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
70	69	rspcev 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ∧ (𝑦(ball‘𝐷)((𝑃𝐷𝑦) +𝑒 -𝑒𝑥)) ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
71	36, 42, 66, 70	syl12anc 834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)))) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
72	71	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
73	27, 72	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
74	73	rexlimdva 3284	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝑅 < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝑃𝐷𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆))))
75	26, 74	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
76	75	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))
77	1	elmopn 23046	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
78	77	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽 ↔ ((𝑋 ∖ 𝑆) ⊆ 𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∖ 𝑆)∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑋 ∖ 𝑆)))))
79	5, 76, 78	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
80	4, 79	eqeltrrd 2914	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
81	1	mopntop 23044	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
82	81	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐽 ∈ Top)
83	16	ssrab3 4056	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋
84	83, 3	sseqtrid 4018	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
85		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
86	85	iscld2 21630	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
87	82, 84, 86	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽))
88	80, 87	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ∪ cuni 4831   class class class wbr 5058  ran crn 5550  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℚcq 12342  -_𝑒cxne 12498   +_𝑒 cxad 12499  ∞Metcxmet 20524  ballcbl 20526  MetOpencmopn 20529  Topctop 21495  Clsdccld 21618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-bases 21548  df-cld 21621

This theorem is referenced by:  blcls  23110  lmle  23898  minveclem4  24029  lhop1lem  24604  ftalem3  25646  ubthlem1  28641