heicant - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem heicant 38553

Description: Heine-Cantor theorem: a continuous mapping between metric spaces whose domain is compact is uniformly continuous. Theorem on [Rosenlicht] p. 80. (Contributed by Brendan Leahy, 13-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
heicant.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
heicant.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
heicant.j	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐶) ∈ Comp)
heicant.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
heicant.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)

**Assertion**
Ref	Expression
heicant	⊢ (𝜑 → ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) = ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem heicant Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑔 𝑝 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑 ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
2	1	imbi2d 343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
3	2	2ralbidv 3227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
4	3	rexbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
5	4	cbvralvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
6		r19.12 3312	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
7	6	ralimi 3100	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
8	5, 7	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
9		rphalfcl 13142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺)
10		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦 ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
11	10	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
12	11	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
13	12	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
14	13	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
15	14	rspcva 3575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
16		heicant.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐶) ∈ Comp)
17	16	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (MetOpen‘𝐶) ∈ Comp)
18		heicant.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
20	19	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
21		rphalfcl 13142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ⁺)
22	21	rpxrd 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ^*)
23		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
24	23	blopn 24812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ^*) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
25	24	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ^*) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
26	20, 22, 25	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
28	21	rpgt0d 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑧 / 2))
29	22, 28	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → ((𝑧 / 2) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (𝑧 / 2)))
30		xblcntr 24723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑧 / 2) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (𝑧 / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
31	30	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧 / 2) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (𝑧 / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
32	20, 29, 31	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
34		opelxpi 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ⁺) → ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
35	21, 34	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
36	35	ad4ant23 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
37		rpcn 13124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℂ)
38	37	2halvesd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) = 𝑧)
39	38	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) ↔ (𝑥𝐶𝑐) < 𝑧))
40	39	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
41	40	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
42		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑥𝐶𝑐) = (𝑥𝐶𝑤))
43	42	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < 𝑧))
44		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑓‘𝑐) = (𝑓‘𝑤))
45	44	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)))
46	45	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
47	43, 46	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
48	47	cbvralvw 3241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
49	41, 48	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
50	49	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
51	50	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
52		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑥 ∈ V
53		ovex 7451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 / 2) ∈ V
54	52, 53	op1std 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (1^st ‘𝑝) = 𝑥)
55	52, 53	op2ndd 8010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (2^nd ‘𝑝) = (𝑧 / 2))
56	54, 55	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
57	56	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)))
58	57	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
59	54	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) = (𝑥𝐶𝑐))
60	55, 55	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) = ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)))
61	59, 60	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) ↔ (𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2))))
62	54	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (𝑓‘(1^st ‘𝑝)) = (𝑓‘𝑥))
63	62	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)))
64	63	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
65	61, 64	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
66	65	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
67	58, 66	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
68	67	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
69	36, 51, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
70		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↔ 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2))))
71		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → (𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ↔ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝))))
72	71	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → ((𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ ((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
73	72	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → (∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
74	70, 73	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
75	74	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
76	27, 33, 69, 75	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
77	76	rexlimdva2 3166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
78	77	ralimdva 3175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
79	78	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
80	23	mopnuni 24753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶))
81	18, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶))
82	81	raleqdv 3320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
83	82	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
84	79, 83	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
85		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ (MetOpen‘𝐶)
86		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (1^st ‘𝑝) = (1^st ‘(𝑔‘𝑏)))
87		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (2^nd ‘𝑝) = (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
88	86, 87	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
89	88	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ↔ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
90	86	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐))
91	87, 87	oveq12d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) = ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
92	90, 91	breq12d 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) ↔ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
93	86	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (𝑓‘(1^st ‘𝑝)) = (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))))
94	93	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)))
95	94	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
96	92, 95	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
97	96	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
98	89, 97	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
99	85, 98	cmpcovf 23702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((MetOpen‘𝐶) ∈ Comp ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
100	17, 84, 99	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
101	100	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))))
102		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
103		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → 𝜑)
104	103	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) → (𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
105		frn 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran 𝑔 ⊆ (𝑋 × ℝ⁺))
106		rnss 5921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ (𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ran (𝑋 × ℝ⁺))
107	105, 106	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ran (𝑋 × ℝ⁺))
108		rnxpss 6164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ran (𝑋 × ℝ⁺) ⊆ ℝ⁺
109	107, 108	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺)
110	109	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺)
111		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
112		ffun 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → Fun 𝑔)
113		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑔 ∈ V
114	113	fundmen 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Fun 𝑔 → dom 𝑔 ≈ 𝑔)
115	114	ensymd 9025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (Fun 𝑔 → 𝑔 ≈ dom 𝑔)
116	112, 115	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → 𝑔 ≈ dom 𝑔)
117		fdm 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → dom 𝑔 = 𝑠)
118	116, 117	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → 𝑔 ≈ 𝑠)
119		enfii 9194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ≈ 𝑠) → 𝑔 ∈ Fin)
120	118, 119	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑔 ∈ Fin)
121		rnfi 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔 ∈ Fin → ran 𝑔 ∈ Fin)
122		rnfi 9322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ∈ Fin → ran ran 𝑔 ∈ Fin)
123	120, 121, 122	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ∈ Fin)
124	111, 123	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ∈ Fin)
125	117	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → dom 𝑔 = 𝑠)
126		eqtr 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑋 = ∪ 𝑠)
127	81, 126	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑋 = ∪ 𝑠)
128		heicant.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
129	128	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑋 ≠ ∅)
130	127, 129	eqnetrrd 3024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → ∪ 𝑠 ≠ ∅)
131		unieq 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∪ 𝑠 = ∪ ∅)
132		uni0 4896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ∪ ∅ = ∅
133	131, 132	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∪ 𝑠 = ∅)
134	133	necon3i 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∪ 𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 ≠ ∅)
135	130, 134	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑠 ≠ ∅)
136	135	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑠 ≠ ∅)
137	125, 136	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → dom 𝑔 ≠ ∅)
138		dm0rn0 5906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑔 = ∅ ↔ ran 𝑔 = ∅)
139	138	necon3bii 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran 𝑔 ≠ ∅)
140	137, 139	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran 𝑔 ≠ ∅)
141		relxp 5669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Rel (𝑋 × ℝ⁺)
142		relss 5758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ (𝑋 × ℝ⁺) → (Rel (𝑋 × ℝ⁺) → Rel ran 𝑔))
143	105, 141, 142	mpisyl 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → Rel ran 𝑔)
144		relrn0 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (Rel ran 𝑔 → (ran 𝑔 = ∅ ↔ ran ran 𝑔 = ∅))
145	144	necon3bid 3000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Rel ran 𝑔 → (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅))
146	143, 145	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅))
147	146	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅))
148	140, 147	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
149	148	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
150		rpssre 13121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℝ⁺ ⊆ ℝ
151	110, 150	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)
152		ltso 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ < Or ℝ
153		fiinfcl 9488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran ran 𝑔 ∈ Fin ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ran ran 𝑔)
154	152, 153	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ran ran 𝑔 ∈ Fin ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ran ran 𝑔 ⊆ ℝ) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ran ran 𝑔)
155	124, 149, 151, 154	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ran ran 𝑔)
156	110, 155	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺)
157	104, 156	sylanl1 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺)
158	157	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺)
159	81	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶))
160	159	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠))
161	160	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠))
162		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
163	126	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑠))
164		eluni2 4871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏)
165	163, 164	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏))
166	165	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏)
167	161, 162, 166	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏)
168		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
169		nfra1 3287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
170	168, 169	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
171		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)
172	170, 171	nfan 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏(((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋))
173		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)
174		rspa 3252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
175		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥))
176	175	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
177		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑓‘𝑐) = (𝑓‘𝑥))
178	177	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
179	178	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)))
180	176, 179	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2))))
181	180	rspcva 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)))
182		oveq2 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤))
183	182	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
184	44	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)))
185	184	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
186	183, 185	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
187	186	rspcva 3575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
188	181, 187	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
189	188	anandirs 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
190		anim12 821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
191	189, 190	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
192	191	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
193	192	ad4ant23 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
194		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺))
195	194	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)))
196	195	anim1i 627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)))
197	109, 150	sstrdi 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)
198	197	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)
199		0re 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 ∈ ℝ
200		rpge0 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑦)
201	200	rgen 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 0 ≤ 𝑦
202		ssralv 4000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺ → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 0 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦))
203	109, 201, 202	mpisyl 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦)
204		breq1 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
205	204	ralbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦))
206	205	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦)
207	199, 203, 206	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦)
208	207	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦)
209	143	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → Rel ran 𝑔)
210		ffn 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → 𝑔 Fn 𝑠)
211		fnfvelrn 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ ran 𝑔)
212	210, 211	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ ran 𝑔)
213		2ndrn 8050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((Rel ran 𝑔 ∧ (𝑔‘𝑏) ∈ ran 𝑔) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔)
214	209, 212, 213	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔)
215		infrelb 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
216	198, 208, 214, 215	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
217	216	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
218	217	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
219	18	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
220		xmetcl 24643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
221	220	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
222	219, 221	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
223	222	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
224		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
225		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑠)
226	214	ne0d 4288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
227		infrecl 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ)
228	198, 226, 208, 227	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ)
229	228	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ^*)
230	224, 225, 229	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ^*)
231		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
232	231	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
233		xp2nd 8032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
234	232, 233	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
235	234	rpxrd 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
236	235	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
237		xrltletr 13279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → (((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∧ inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
238	223, 230, 236, 237	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∧ inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
239	218, 238	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
240	239	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
241	18	ad6antr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
242		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
243		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
244		xp1st 8031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
245	243, 244	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
246	242, 225, 245	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
247		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
248	247	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
249		xmetcl 24643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
250	241, 246, 248, 249	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
251	250	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
252	243, 233	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
253	224, 252	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
254	253	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
255	254	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
256	162	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
257		xmetcl 24643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^*)
258	241, 246, 256, 257	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^*)
259	252	rpxrd 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
260	242, 225, 259	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
261		eleq2 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↔ 𝑥 ∈ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
262	18	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
263	224, 245	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
264	253	rpxrd 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
265		elbl 24700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
266	262, 263, 264, 265	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
267	261, 266	sylan9bbr 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
268	267	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
269	268	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
270	269	impr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
271	270	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
272	258, 260, 271	xrltled 13272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
273	224	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
274	273, 244	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
275		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋)
276	262, 274, 275, 257	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^*)
277		xmetge0 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥))
278	262, 274, 275, 277	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥))
279		xrrege0 13297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
280	279	an4s 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥)) ∧ ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
281	280	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥)) → (((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ))
282	276, 278, 281	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ))
283	282	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ))
284	255, 272, 283	mp2and 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
285	284	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
286		xrltle 13271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
287	223, 236, 286	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
288		xmetge0 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
289	288	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
290	219, 289	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
291	290	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
292	234	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
293	292	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
294		xrrege0 13297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑤) ∧ (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
295	294	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑤) ∧ (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
296	223, 293, 295	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑤) ∧ (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
297	291, 296	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
298	287, 297	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
299	298	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
300	299	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
301	285, 300	readdcld 11331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
302	301	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ^*)
303	254, 254	rpaddcld 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ ℝ⁺)
304	303	rpxrd 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ ℝ^*)
305	304	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ ℝ^*)
306		xmettri 24663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)))
307	241, 246, 248, 256, 306	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)))
308	307	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)))
309		rexadd 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)) = (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)))
310	285, 300, 309	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)) = (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)))
311	308, 310	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)))
312	255	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
313	271	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
314		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
315	285, 300, 312, 312, 313, 314	lt2addd 11932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
316	251, 302, 305, 311, 315	xrlelttrd 13282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
317	316	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
318	252	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
319	318, 252	ltaddrpd 13190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
320	242, 225, 319	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
321	258, 260, 304, 271, 320	xrlttrd 13281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
322	317, 321	jctild 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))))
323	240, 322	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))))
324		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → (𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
325		heicant.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
326		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
327		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
328	326, 327	anim12dan 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌))
329		xmetcl 24643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
330	329	3expb 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
331	325, 328, 330	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
332	331	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
333	324, 332	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
334	333	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
335	325	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
336		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
337	336, 274	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌)
338		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
339	338	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
340	339	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
341	340	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
342		xmetcl 24643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^*)
343	335, 337, 341, 342	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^*)
344	9	rpxrd 13158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*)
345	344	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*)
346		xrltle 13271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)))
347	343, 345, 346	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)))
348		xmetge0 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
349	335, 337, 341, 348	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
350	9	rpred 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
351	350	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
352		xrrege0 13297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ)
353	352	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
354	343, 351, 353	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
355	349, 354	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
356	347, 355	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
357	356	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
358	357	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ)
359	338	ffvelcdmda 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
360	359	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
361	360	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
362		xmetcl 24643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
363	335, 337, 361, 362	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
364		xrltle 13271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)))
365	363, 345, 364	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)))
366		xmetge0 24656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)))
367	335, 337, 361, 366	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)))
368		xrrege0 13297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ)
369	368	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
370	363, 351, 369	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
371	367, 370	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
372	365, 371	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
373	372	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
374	373	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ)
375		readdcl 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ)
376	358, 374, 375	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ)
377	376	anandis 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ)
378	377	rexrd 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ^*)
379		rpxr 13123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → 𝑑 ∈ ℝ^*)
380	379	ad6antlr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
381		xmettri 24663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
382	335, 341, 361, 337, 381	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
383	382	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
384	383	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
385		xmetsym 24659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
386	335, 341, 337, 385	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
387	386	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
388	387	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
389	388	oveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
390		rexadd 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
391	358, 374, 390	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
392	391	anandis 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
393	389, 392	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
394	384, 393	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
395		lt2add 11794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2))))
396	395	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑑 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))))
397	351, 351, 396	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))))
398	356, 372, 397	syl2and 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))))
399	398	pm2.43d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2))))
400	399	ad2ant2r 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2))))
401	400	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))
402		rpcn 13124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → 𝑑 ∈ ℂ)
403	402	2halvesd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)) = 𝑑)
404	403	ad6antlr 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)) = 𝑑)
405	401, 404	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < 𝑑)
406	334, 378, 380, 394, 405	xrlelttrd 13282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)
407	406	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
408	323, 407	imim12d 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
409	196, 408	sylanl1 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
410	409	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
411	193, 410	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
412	411	exp32 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
413	174, 412	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠)) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
414	413	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))))
415	414	pm2.43d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
416	415	an32s 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
417	172, 173, 416	rexlimd 3270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
418	167, 417	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
419	418	ralrimivva 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
420		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < )))
421	420	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
422	421	2ralbidv 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
423	422	rspcev 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
424	158, 419, 423	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
425	424	expl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
426	425	exlimdv 1966	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
427	426	expimpd 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
428	102, 427	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)) → ((∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
429	428	rexlimdva 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
430	101, 429	syld 48	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
431	15, 430	syl5 35	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (((𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
432	431	exp4b 436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (𝑑 ∈ ℝ⁺ → ((𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))))
433	9, 432	mpdi 46	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
434	433	ralrimiv 3154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
435		r19.21v 3188	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)) ↔ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
436	434, 435	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
437	8, 436	impbid2 229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
438		ralcom 3291	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
439	437, 438	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
440	439	pm5.32da 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
441		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (metUnif‘𝐶) = (metUnif‘𝐶)
442		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (metUnif‘𝐷) = (metUnif‘𝐷)
443		heicant.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
444		xmetpsmet 24660	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (PsMet‘𝑋))
445	18, 444	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (PsMet‘𝑋))
446		xmetpsmet 24660	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑌))
447	325, 446	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑌))
448	441, 442, 128, 443, 445, 447	metucn 24883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
449		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
450	23, 449	metcn 24855	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
451	18, 325, 450	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
452	440, 448, 451	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑓 ∈ ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷))))
453	452	eqrdv 2759	1 ⊢ (𝜑 → ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) = ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∃wex 1812 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 ∃wrex 3087 ∩ cin 3898 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 𝒫 cpw 4557 ⟨cop 4590 ∪ cuni 4867 class class class wbr 5103 Or wor 5558 × cxp 5649 dom cdm 5651 ran crn 5652 Rel wrel 5656 Fun wfun 6531 Fn wfn 6532 ⟶wf 6533 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 1^st c1st 7997 2^nd c2nd 7998 ≈ cen 8963 Fincfn 8966 infcinf 9426 ℝcr 11192 0cc0 11193 + caddc 11196 ℝ^*cxr 11335 < clt 11336 ≤ cle 11337 / cdiv 11966 2c2 12390 ℝ⁺crp 13113 +_𝑒 cxad 13232 PsMetcpsmet 21655 ∞Metcxmet 21656 ballcbl 21658 MetOpencmopn 21661 metUnifcmetu 21662 Cn ccn 23535 Compccmp 23697 Cn_ucucn 24586

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270 ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-er 8710 df-map 8842 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-sup 9427 df-inf 9428 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-div 11967 df-nn 12329 df-2 12398 df-n0 12600 df-z 12687 df-uz 12959 df-q 13069 df-rp 13114 df-xneg 13234 df-xadd 13235 df-xmul 13236 df-ico 13475 df-topgen 17607 df-psmet 21663 df-xmet 21664 df-bl 21666 df-mopn 21667 df-fbas 21668 df-fg 21669 df-metu 21670 df-top 23205 df-topon 23222 df-bases 23257 df-cn 23538 df-cnp 23539 df-cmp 23698 df-fil 24158 df-ust 24513 df-ucn 24587

This theorem is used by: (None)

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