Theorem elbl 24375

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elbl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval 24373	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
2	1	eleq2d 2827	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3		oveq2 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
4	3	breq1d 5085	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
5	4	elrab 3631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
6	2, 5	bitrdi 289	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  ∞Metcxmet 21336  ballcbl 21338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769  df-xr 11178  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-bl 21346

This theorem is referenced by:  elbl2  24377  xblpnf  24383  bldisj  24385  blgt0  24386  xblss2  24389  blhalf  24392  xblcntr  24398  xbln0  24401  blin  24408  blss  24412  blres  24418  imasf1obl  24475  prdsbl  24478  blcls  24493  metcnp  24528  dscopn  24560  cnbl0  24760  bl2ioo  24779  blcvx  24785  xrsmopn  24800  recld2  24802  cnheibor  24944  nmhmcn  25109  lmmbr2  25248  iscau2  25266  dvlip2  25984  psercn  26413  abelth  26428  logtayl  26646  logtayl2  26648  poimirlem29  38031  heicant  38037  iooabslt  45958  limcrecl  46088  islpcn  46096  qndenserrnbllem  46751