MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl 22992
Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
elbl ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elbl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blval 22990 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
21eleq2d 2898 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3 oveq2 7158 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
43breq1d 5069 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
54elrab 3680 . 2 (𝐴 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
62, 5syl6bb 289 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  {crab 3142   class class class wbr 5059  cfv 6350  (class class class)co 7150  *cxr 10668   < clt 10669  ∞Metcxmet 20524  ballcbl 20526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-map 8402  df-xr 10673  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-bl 20534
This theorem is referenced by:  elbl2  22994  xblpnf  23000  bldisj  23002  blgt0  23003  xblss2  23006  blhalf  23009  xblcntr  23015  xbln0  23018  blin  23025  blss  23029  blres  23035  imasf1obl  23092  prdsbl  23095  blcls  23110  metcnp  23145  dscopn  23177  cnbl0  23376  bl2ioo  23394  blcvx  23400  xrsmopn  23414  recld2  23416  cnheibor  23553  nmhmcn  23718  lmmbr2  23856  iscau2  23874  dvlip2  24586  psercn  25008  abelth  25023  logtayl  25237  logtayl2  25239  poimirlem29  34915  heicant  34921  iooabslt  41766  limcrecl  41902  islpcn  41912  qndenserrnbllem  42572
  Copyright terms: Public domain W3C validator