Theorem elbl 24615

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elbl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval 24613	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
2	1	eleq2d 2846	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3		oveq2 7422	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
4	3	breq1d 5113	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
5	4	elrab 3645	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
6	2, 5	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝ^*cxr 11267   < clt 11268  ∞Metcxmet 21571  ballcbl 21573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8829  df-xr 11272  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-bl 21581

This theorem is used by:  elbl2  24617  xblpnf  24623  bldisj  24625  blgt0  24626  xblss2  24629  blhalf  24632  xblcntr  24638  xbln0  24641  blin  24648  blss  24652  blres  24658  imasf1obl  24715  prdsbl  24718  blcls  24733  metcnp  24768  dscopn  24800  cnbl0  25000  bl2ioo  25019  blcvx  25025  xrsmopn  25040  recld2  25042  cnheibor  25184  nmhmcn  25349  lmmbr2  25488  iscau2  25506  dvlip2  26223  psercn  26663  abelth  26678  logtayl  26898  logtayl2  26900  poimirlem29  38399  heicant  38405  iooabslt  46330  limcrecl  46460  islpcn  46468  qndenserrnbllem  47123