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Theorem metdseq0 24139
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1212 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simprl 769 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
3 simprr 771 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopni2 23771 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
7 simprr 771 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
87ssrind 4193 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆))
9 rpgt0 12855 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
10 0re 11090 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 rpre 12851 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
12 ltnle 11167 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
149, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
1514ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
16 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
1716breq2d 5115 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ π‘Ÿ ≀ 0))
181adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
19 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
21 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
23 rpxr 12852 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
25 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2625metdsge 24134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2718, 20, 22, 24, 26syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2817, 27bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
29 incom 4159 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆)
3029eqeq1i 2742 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ… ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…)
3128, 30bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…))
3231necon3bbid 2979 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3315, 32mpbid 231 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
34 ssn0 4358 . . . . . . 7 ((((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
358, 33, 34syl2anc 584 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
366, 35rexlimddv 3156 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
3736expr 457 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3837ralrimiva 3141 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
394mopntopon 23714 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
40393ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4140adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
42 topontop 22184 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4341, 42syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ Top)
44 toponuni 22185 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4541, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4619, 45sseqtrd 3982 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4721, 45eleqtrd 2840 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
48 eqid 2737 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4948elcls 22346 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5043, 46, 47, 49syl3anc 1371 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5138, 50mpbird 256 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
52 incom 4159 . . . . . . 7 ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5325metdsf 24133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5453ffvelcdmda 7029 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
55543impa 1110 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
56 eliccxr 13280 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5857xrleidd 12999 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
5925metdsge 24134 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6057, 59mpdan 685 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6158, 60mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
6252, 61eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6362adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6440ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6564, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
66 simpll2 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6764, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6866, 67sseqtrd 3982 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
69 simplr 767 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
70 simpll1 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71 simpll3 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7257ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
734blopn 23778 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
75 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
76 xblcntr 23686 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7770, 71, 72, 75, 76syl112anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7848clsndisj 22348 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
7965, 68, 69, 74, 77, 78syl32anc 1378 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
8079ex 413 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
8180necon2bd 2957 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄)))
8263, 81mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄))
83 elxrge0 13302 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
8483simprbi 497 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
8555, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
86 0xr 11135 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
87 xrleloe 12991 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8886, 57, 87sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8985, 88mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9089adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9190ord 862 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9282, 91mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄))
9392eqcomd 2743 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9451, 93impbida 799 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  βˆͺ cuni 4863   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5631  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349  infcinf 9310  β„cr 10983  0cc0 10984  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123  β„+crp 12843  [,]cicc 13195  βˆžMetcxmet 20704  ballcbl 20706  MetOpencmopn 20709  Topctop 22164  TopOnctopon 22181  clsccl 22291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-map 8700  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-icc 13199  df-topgen 17259  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  24143  lebnumlem1  24246
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