Theorem metdseq0 25082

Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metdseq0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metdseq0

Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐽)
3		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑧)
4		metdscn.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
5	4	mopni2 24720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
7		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
8	7	ssrind 4192	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧 ∩ 𝑆))
9		rpgt0 13057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
10		0re 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		rpre 13053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
12		ltnle 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
13	10, 11, 12	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
14	9, 13	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑟 ≤ 0)
15	14	ad2antrl 741	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ¬ 𝑟 ≤ 0)
16		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐹‘𝐴) = 0)
17	16	breq2d 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑟 ≤ 0))
18	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
21		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		rpxr 13054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
25		metdscn.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
26	25	metdsge 25077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
27	18, 20, 22, 24, 26	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
28	17, 27	bitr3d 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
29		incom 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆)
30	29	eqeq1i 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅ ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅)
31	28, 30	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅))
32	31	necon3bbid 2994	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (¬ 𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
33	15, 32	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
34		ssn0 4358	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧 ∩ 𝑆) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
35	8, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
36	6, 35	rexlimddv 3171	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
37	36	expr 462	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
38	37	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
39	4	mopntopon 24666	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
40	39	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
42		topontop 23139	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
43	41, 42	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ Top)
44		toponuni 23140	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
45	41, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
46	19, 45	sseqtrd 3970	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
47	21, 45	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
49	48	elcls 23299	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
50	43, 46, 47, 49	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
51	38, 50	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
52		incom 4158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
53	25	metdsf 25076	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
54	53	ffvelcdmda 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
55	54	3impa 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
56		eliccxr 13490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
58	57	xrleidd 13205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴))
59	25	metdsge 25077	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
60	57, 59	mpdan 700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
61	58, 60	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)
62	52, 61	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
63	62	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
64	40	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
65	64, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
66		simpll2 1232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
67	64, 44	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
68	66, 67	sseqtrd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
69		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
70		simpll1 1231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71		simpll3 1233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
72	57	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
73	4	blopn 24727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∈ 𝐽)
74	70, 71, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∈ 𝐽)
75		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝐴))
76		xblcntr 24638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹‘𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
77	70, 71, 72, 75, 76	syl112anc 1401	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
78	48	clsndisj 23301	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
79	65, 68, 69, 74, 77, 78	syl32anc 1405	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
80	79	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹‘𝐴) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
81	80	necon2bd 2973	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴)))
82	63, 81	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴))
83		elxrge0 13512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
84	83	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
85	55, 84	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
86		0xr 11283	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
87		xrleloe 13197	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
88	86, 57, 87	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
89	85, 88	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
90	89	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
91	90	ord 878	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
92	82, 91	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 0 = (𝐹‘𝐴))
93	92	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (𝐹‘𝐴) = 0)
94	51, 93	impbida 813	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  infcinf 9414  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11267  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℝ⁺crp 13044  [,]cicc 13403  ∞Metcxmet 21571  ballcbl 21573  MetOpencmopn 21576  Topctop 23119  TopOnctopon 23136  clsccl 23244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-icc 13407  df-topgen 17532  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247

This theorem is used by:  metnrmlem1a  25086  lebnumlem1  25190