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Theorem metdseq0 24139
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
3 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopni2 23771 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
7 simprr 772 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
87ssrind 4194 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆))
9 rpgt0 12856 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
10 0re 11091 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 rpre 12852 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
12 ltnle 11168 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
149, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
16 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
1716breq2d 5116 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ π‘Ÿ ≀ 0))
181adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
19 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
21 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
23 rpxr 12853 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
25 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2625metdsge 24134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2718, 20, 22, 24, 26syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2817, 27bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
29 incom 4160 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆)
3029eqeq1i 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ… ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…)
3128, 30bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…))
3231necon3bbid 2980 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3315, 32mpbid 231 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
34 ssn0 4359 . . . . . . 7 ((((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
358, 33, 34syl2anc 585 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
366, 35rexlimddv 3157 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
3736expr 458 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3837ralrimiva 3142 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
394mopntopon 23714 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
40393ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4140adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
42 topontop 22184 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4341, 42syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ Top)
44 toponuni 22185 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4541, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4619, 45sseqtrd 3983 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4721, 45eleqtrd 2841 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
48 eqid 2738 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4948elcls 22346 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5043, 46, 47, 49syl3anc 1372 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5138, 50mpbird 257 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
52 incom 4160 . . . . . . 7 ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5325metdsf 24133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5453ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
55543impa 1111 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
56 eliccxr 13281 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5857xrleidd 13000 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
5925metdsge 24134 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6057, 59mpdan 686 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6158, 60mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
6252, 61eqtrid 2790 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6362adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6440ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6564, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
66 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6764, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6866, 67sseqtrd 3983 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
69 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
70 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7257ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
734blopn 23778 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
75 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
76 xblcntr 23686 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7770, 71, 72, 75, 76syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7848clsndisj 22348 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
7965, 68, 69, 74, 77, 78syl32anc 1379 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
8079ex 414 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
8180necon2bd 2958 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄)))
8263, 81mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄))
83 elxrge0 13303 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
8483simprbi 498 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
8555, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
86 0xr 11136 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
87 xrleloe 12992 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8886, 57, 87sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8985, 88mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9089adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9190ord 863 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9282, 91mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄))
9392eqcomd 2744 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9451, 93impbida 800 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063  βˆƒwrex 3072   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  βˆͺ cuni 4864   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  ran crn 5632  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  infcinf 9311  β„cr 10984  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   < clt 11123   ≀ cle 11124  β„+crp 12844  [,]cicc 13196  βˆžMetcxmet 20704  ballcbl 20706  MetOpencmopn 20709  Topctop 22164  TopOnctopon 22181  clsccl 22291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-map 8701  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-icc 13200  df-topgen 17260  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cld 22292  df-ntr 22293  df-cls 22294
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  24143  lebnumlem1  24246
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