Theorem metdseq0 24922

Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metdscn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metdseq0	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metdseq0

Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1227	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐽)
3		simprr 782	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑧)
4		metdscn.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
5	4	mopni2 24560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1392	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
7		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
8	7	ssrind 4196	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧 ∩ 𝑆))
9		rpgt0 13016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
10		0re 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		rpre 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
12		ltnle 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
13	10, 11, 12	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
14	9, 13	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑟 ≤ 0)
15	14	ad2antrl 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ¬ 𝑟 ≤ 0)
16		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐹‘𝐴) = 0)
17	16	breq2d 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ 𝑟 ≤ 0))
18	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19		simpl2 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
20	19	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
21		simpl3 1208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
22	21	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
23		rpxr 13013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
24	23	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
25		metdscn.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
26	25	metdsge 24917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
27	18, 20, 22, 24, 26	syl31anc 1394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
28	17, 27	bitr3d 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
29		incom 4162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆)
30	29	eqeq1i 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅ ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅)
31	28, 30	bitrdi 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅))
32	31	necon3bbid 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (¬ 𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
33	15, 32	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
34		ssn0 4359	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧 ∩ 𝑆) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
35	8, 33, 34	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
36	6, 35	rexlimddv 3170	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)
37	36	expr 460	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
38	37	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅))
39	4	mopntopon 24506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
40	39	3ad2ant1 1147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
41	40	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
42		topontop 22980	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
43	41, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ Top)
44		toponuni 22981	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
45	41, 44	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
46	19, 45	sseqtrd 3973	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
47	21, 45	eleqtrd 2865	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ∪ 𝐽)
48		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
49	48	elcls 23140	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ∪ 𝐽) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
50	43, 46, 47, 49	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 → (𝑧 ∩ 𝑆) ≠ ∅)))
51	38, 50	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
52		incom 4162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
53	25	metdsf 24916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
54	53	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
55	54	3impa 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
56		eliccxr 13449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
58	57	xrleidd 13164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴))
59	25	metdsge 24917	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
60	57, 59	mpdan 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅))
61	58, 60	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴))) = ∅)
62	52, 61	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
63	62	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
64	40	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
65	64, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
66		simpll2 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
67	64, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
68	66, 67	sseqtrd 3973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
69		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
70		simpll1 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71		simpll3 1229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
72	57	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
73	4	blopn 24567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∈ 𝐽)
74	70, 71, 72, 73	syl3anc 1392	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∈ 𝐽)
75		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 0 < (𝐹‘𝐴))
76		xblcntr 24478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹‘𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
77	70, 71, 72, 75, 76	syl112anc 1395	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))
78	48	clsndisj 23142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)))) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
79	65, 68, 69, 74, 77, 78	syl32anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹‘𝐴)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
80	79	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹‘𝐴) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
81	80	necon2bd 2974	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹‘𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴)))
82	63, 81	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ¬ 0 < (𝐹‘𝐴))
83		elxrge0 13471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝐴)))
84	83	simprbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
85	55, 84	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
86		0xr 11240	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
87		xrleloe 13156	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
88	86, 57, 87	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴))))
89	85, 88	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
90	89	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹‘𝐴) ∨ 0 = (𝐹‘𝐴)))
91	90	ord 875	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (¬ 0 < (𝐹‘𝐴) → 0 = (𝐹‘𝐴)))
92	82, 91	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 0 = (𝐹‘𝐴))
93	92	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (𝐹‘𝐴) = 0)
94	51, 93	impbida 810	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182  ran crn 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  infcinf 9385  ℝcr 11083  0cc0 11084  +∞cpnf 11224  ℝ^*cxr 11226   < clt 11227   ≤ cle 11228  ℝ⁺crp 13003  [,]cicc 13362  ∞Metcxmet 21416  ballcbl 21418  MetOpencmopn 21421  Topctop 22960  TopOnctopon 22977  clsccl 23085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-q 12960  df-rp 13004  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13366  df-topgen 17482  df-psmet 21423  df-xmet 21424  df-bl 21426  df-mopn 21427  df-top 22961  df-topon 22978  df-bases 23013  df-cld 23086  df-ntr 23087  df-cls 23088

This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  24926  lebnumlem1  25030