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Theorem metdseq0 24370
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
3 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopni2 24002 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
7 simprr 772 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
87ssrind 4236 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆))
9 rpgt0 12986 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
10 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 rpre 12982 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
12 ltnle 11293 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
1310, 11, 12sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
149, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
16 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
1716breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ π‘Ÿ ≀ 0))
181adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
19 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
21 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
23 rpxr 12983 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
25 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2625metdsge 24365 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2718, 20, 22, 24, 26syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2817, 27bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
29 incom 4202 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆)
3029eqeq1i 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ… ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…)
3128, 30bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…))
3231necon3bbid 2979 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3315, 32mpbid 231 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
34 ssn0 4401 . . . . . . 7 ((((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
358, 33, 34syl2anc 585 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
366, 35rexlimddv 3162 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
3736expr 458 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3837ralrimiva 3147 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
394mopntopon 23945 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
40393ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4140adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
42 topontop 22415 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4341, 42syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ Top)
44 toponuni 22416 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4541, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4619, 45sseqtrd 4023 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4721, 45eleqtrd 2836 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
48 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4948elcls 22577 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5043, 46, 47, 49syl3anc 1372 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5138, 50mpbird 257 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
52 incom 4202 . . . . . . 7 ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5325metdsf 24364 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5453ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
55543impa 1111 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
56 eliccxr 13412 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5857xrleidd 13131 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
5925metdsge 24365 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6057, 59mpdan 686 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6158, 60mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
6252, 61eqtrid 2785 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6362adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6440ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6564, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
66 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6764, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6866, 67sseqtrd 4023 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
69 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
70 simpll1 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7257ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
734blopn 24009 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
75 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
76 xblcntr 23917 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7770, 71, 72, 75, 76syl112anc 1375 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7848clsndisj 22579 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
7965, 68, 69, 74, 77, 78syl32anc 1379 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
8079ex 414 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
8180necon2bd 2957 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄)))
8263, 81mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄))
83 elxrge0 13434 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
8483simprbi 498 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
8555, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
86 0xr 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
87 xrleloe 13123 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8886, 57, 87sylancr 588 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8985, 88mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9089adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9190ord 863 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9282, 91mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄))
9392eqcomd 2739 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9451, 93impbida 800 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  infcinf 9436  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  [,]cicc 13327  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  clsccl 22522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  24374  lebnumlem1  24477
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