MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdseq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdseq0 24757
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   π‘₯,𝑆,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1210 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simprl 770 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
3 simprr 772 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
54mopni2 24389 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
7 simprr 772 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)
87ssrind 4231 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆))
9 rpgt0 13010 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ÿ)
10 0re 11238 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 rpre 13006 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
12 ltnle 11315 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
1310, 11, 12sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ (0 < π‘Ÿ ↔ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0))
149, 13mpbid 231 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
1514ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ 0)
16 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
1716breq2d 5154 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ π‘Ÿ ≀ 0))
181adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
19 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
21 simpl3 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
23 rpxr 13007 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
25 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ inf(ran (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ (π‘₯𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2625metdsge 24752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2718, 20, 22, 24, 26syl31anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
2817, 27bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ…))
29 incom 4197 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆)
3029eqeq1i 2732 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)) = βˆ… ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…)
3128, 30bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) = βˆ…))
3231necon3bbid 2973 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (Β¬ π‘Ÿ ≀ 0 ↔ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3315, 32mpbid 231 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
34 ssn0 4396 . . . . . . 7 ((((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) βŠ† (𝑧 ∩ 𝑆) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
358, 33, 34syl2anc 583 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) βŠ† 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
366, 35rexlimddv 3156 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
3736expr 456 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
3837ralrimiva 3141 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
394mopntopon 24332 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
40393ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4140adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
42 topontop 22802 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
4341, 42syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐽 ∈ Top)
44 toponuni 22803 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4541, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
4619, 45sseqtrd 4018 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
4721, 45eleqtrd 2830 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽)
48 eqid 2727 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
4948elcls 22964 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ βˆͺ 𝐽) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5043, 46, 47, 49syl3anc 1369 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑧 β†’ (𝑧 ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)))
5138, 50mpbird 257 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 0) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
52 incom 4197 . . . . . . 7 ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
5325metdsf 24751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
5453ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
55543impa 1108 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞))
56 eliccxr 13436 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
5857xrleidd 13155 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄))
5925metdsge 24752 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6057, 59mpdan 686 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…))
6158, 60mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝑆 ∩ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄))) = βˆ…)
6252, 61eqtrid 2779 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6362adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ…)
6440ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
6564, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
66 simpll2 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
6764, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
6866, 67sseqtrd 4018 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽)
69 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†))
70 simpll1 1210 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
71 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
7257ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*)
734blopn 24396 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽)
75 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π΄))
76 xblcntr 24304 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7770, 71, 72, 75, 76syl112anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))
7848clsndisj 22966 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† βˆͺ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)))) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
7965, 68, 69, 74, 77, 78syl32anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) ∧ 0 < (πΉβ€˜π΄)) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…)
8079ex 412 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ ((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) β‰  βˆ…))
8180necon2bd 2951 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (((𝐴(ballβ€˜π·)(πΉβ€˜π΄)) ∩ 𝑆) = βˆ… β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄)))
8263, 81mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄))
83 elxrge0 13458 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄)))
8483simprbi 496 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π΄) ∈ (0[,]+∞) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
8555, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π΄))
86 0xr 11283 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
87 xrleloe 13147 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ*) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8886, 57, 87sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π΄) ↔ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄))))
8985, 88mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9089adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (0 < (πΉβ€˜π΄) ∨ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9190ord 863 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (Β¬ 0 < (πΉβ€˜π΄) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄)))
9282, 91mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ 0 = (πΉβ€˜π΄))
9392eqcomd 2733 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)) β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
9451, 93impbida 800 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  βˆͺ cuni 4903   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  β„cr 11129  0cc0 11130  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„+crp 12998  [,]cicc 13351  βˆžMetcxmet 21251  ballcbl 21253  MetOpencmopn 21256  Topctop 22782  TopOnctopon 22799  clsccl 22909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-icc 13355  df-topgen 17416  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  24761  lebnumlem1  24874
  Copyright terms: Public domain W3C validator