MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdseq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdseq0 24890
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1211 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simprl 771 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝑧𝐽)
3 simprr 773 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝐴𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
54mopni2 24522 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝐽𝐴𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
7 simprr 773 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
87ssrind 4252 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆))
9 rpgt0 13045 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
10 0re 11261 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 rpre 13041 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
12 ltnle 11338 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
1310, 11, 12sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
149, 13mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑟 ≤ 0)
1514ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ¬ 𝑟 ≤ 0)
16 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐹𝐴) = 0)
1716breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑟 ≤ 0))
181adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑆𝑋)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑆𝑋)
21 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴𝑋)
2221ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐴𝑋)
23 rpxr 13042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
25 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2625metdsge 24885 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
2718, 20, 22, 24, 26syl31anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
2817, 27bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
29 incom 4217 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆)
3029eqeq1i 2740 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅ ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅)
3128, 30bitrdi 287 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅))
3231necon3bbid 2976 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (¬ 𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
3315, 32mpbid 232 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
34 ssn0 4410 . . . . . . 7 ((((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
358, 33, 34syl2anc 584 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
366, 35rexlimddv 3159 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
3736expr 456 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑧𝐽) → (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3837ralrimiva 3144 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
394mopntopon 24465 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
40393ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4140adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
42 topontop 22935 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4341, 42syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ Top)
44 toponuni 22936 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
4541, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑋 = 𝐽)
4619, 45sseqtrd 4036 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑆 𝐽)
4721, 45eleqtrd 2841 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴 𝐽)
48 eqid 2735 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
4948elcls 23097 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝐴 𝐽) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
5043, 46, 47, 49syl3anc 1370 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
5138, 50mpbird 257 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
52 incom 4217 . . . . . . 7 ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5325metdsf 24884 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5453ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
55543impa 1109 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
56 eliccxr 13472 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
5857xrleidd 13191 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
5925metdsge 24885 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
6057, 59mpdan 687 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
6158, 60mpbid 232 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
6252, 61eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
6362adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
6440ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6564, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
66 simpll2 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑆𝑋)
6764, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑋 = 𝐽)
6866, 67sseqtrd 4036 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑆 𝐽)
69 simplr 769 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
70 simpll1 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71 simpll3 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
7257ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
734blopn 24529 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
7470, 71, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
75 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
76 xblcntr 24437 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
7770, 71, 72, 75, 76syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
7848clsndisj 23099 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
7965, 68, 69, 74, 77, 78syl32anc 1377 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
8079ex 412 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹𝐴) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
8180necon2bd 2954 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
8263, 81mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
83 elxrge0 13494 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
8483simprbi 496 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
8555, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
86 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
87 xrleloe 13183 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
8886, 57, 87sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
8985, 88mpbid 232 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
9089adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
9190ord 864 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
9282, 91mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 0 = (𝐹𝐴))
9392eqcomd 2741 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (𝐹𝐴) = 0)
9451, 93impbida 801 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  c0 4339   cuni 4912   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  +crp 13032  [,]cicc 13387  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  clsccl 23042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  24894  lebnumlem1  25007
  Copyright terms: Public domain W3C validator