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Theorem metdseq0 23034
Description: The distance from a point to a set is zero iff the point is in the closure set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metdseq0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metdseq0
Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1273 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simprl 787 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝑧𝐽)
3 simprr 789 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → 𝐴𝑧)
4 metdscn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
54mopni2 22675 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝐽𝐴𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
61, 2, 3, 5syl3anc 1494 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
7 simprr 789 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
87ssrind 4066 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆))
9 rpgt0 12133 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑟)
10 0re 10365 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 rpre 12127 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
12 ltnle 10443 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
1310, 11, 12sylancr 581 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+ → (0 < 𝑟 ↔ ¬ 𝑟 ≤ 0))
149, 13mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → ¬ 𝑟 ≤ 0)
1514ad2antrl 719 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ¬ 𝑟 ≤ 0)
16 simpllr 793 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝐹𝐴) = 0)
1716breq2d 4887 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑟 ≤ 0))
181adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
19 simpl2 1248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑆𝑋)
2019ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑆𝑋)
21 simpl3 1250 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴𝑋)
2221ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝐴𝑋)
23 rpxr 12130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
2423ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
25 metdscn.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2625metdsge 23029 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
2718, 20, 22, 24, 26syl31anc 1496 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
2817, 27bitr3d 273 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅))
29 incom 4034 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆)
3029eqeq1i 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟)) = ∅ ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅)
3128, 30syl6bb 279 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) = ∅))
3231necon3bbid 3036 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (¬ 𝑟 ≤ 0 ↔ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
3315, 32mpbid 224 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
34 ssn0 4203 . . . . . . 7 ((((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ⊆ (𝑧𝑆) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ∩ 𝑆) ≠ ∅) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
358, 33, 34syl2anc 579 . . . . . 6 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝐴(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
366, 35rexlimddv 3245 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ (𝑧𝐽𝐴𝑧)) → (𝑧𝑆) ≠ ∅)
3736expr 450 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) ∧ 𝑧𝐽) → (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
3837ralrimiva 3175 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅))
394mopntopon 22621 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
40393ad2ant1 1167 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
4140adantr 474 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
42 topontop 21095 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4341, 42syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐽 ∈ Top)
44 toponuni 21096 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
4541, 44syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑋 = 𝐽)
4619, 45sseqtrd 3866 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝑆 𝐽)
4721, 45eleqtrd 2908 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴 𝐽)
48 eqid 2825 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
4948elcls 21255 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝐴 𝐽) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
5043, 46, 47, 49syl3anc 1494 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝐴𝑧 → (𝑧𝑆) ≠ ∅)))
5138, 50mpbird 249 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
52 incom 4034 . . . . . . 7 ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
5325metdsf 23028 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
5453ffvelrnda 6613 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
55543impa 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
56 elxrge0 12578 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
5756simplbi 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
5855, 57syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
5958xrleidd 12278 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
6025metdsge 23029 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
6158, 60mpdan 678 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
6259, 61mpbid 224 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
6352, 62syl5eq 2873 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
6463adantr 474 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅)
6540ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6665, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐽 ∈ Top)
67 simpll2 1275 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑆𝑋)
6865, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑋 = 𝐽)
6967, 68sseqtrd 3866 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝑆 𝐽)
70 simplr 785 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆))
71 simpll1 1273 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
72 simpll3 1277 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
7358ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
744blopn 22682 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
7571, 72, 73, 74syl3anc 1494 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽)
76 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
77 xblcntr 22593 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
7871, 72, 73, 76, 77syl112anc 1497 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
7948clsndisj 21257 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∈ 𝐽𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
8066, 69, 70, 75, 78, 79syl32anc 1501 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅)
8180ex 403 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹𝐴) → ((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) ≠ ∅))
8281necon2bd 3015 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (((𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)) ∩ 𝑆) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
8364, 82mpd 15 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
8456simprbi 492 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
8555, 84syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
86 0xr 10410 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
87 xrleloe 12270 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
8886, 58, 87sylancr 581 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
8985, 88mpbid 224 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
9089adantr 474 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
9190ord 895 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
9283, 91mpd 15 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → 0 = (𝐹𝐴))
9392eqcomd 2831 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)) → (𝐹𝐴) = 0)
9451, 93impbida 835 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  cin 3797  wss 3798  c0 4146   cuni 4660   class class class wbr 4875  cmpt 4954  ran crn 5347  cfv 6127  (class class class)co 6910  infcinf 8622  cr 10258  0cc0 10259  +∞cpnf 10395  *cxr 10397   < clt 10398  cle 10399  +crp 12119  [,]cicc 12473  ∞Metcxmet 20098  ballcbl 20100  MetOpencmopn 20103  Topctop 21075  TopOnctopon 21092  clsccl 21200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-icc 12477  df-topgen 16464  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203
This theorem is referenced by:  metnrmlem1a  23038  lebnumlem1  23137
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