Theorem xlemnf 13196

Description: An extended real which is less than minus infinity is minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xlemnf	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ 𝐴 = -∞))

Proof of Theorem xlemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11269	. . 3 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2		xrlenlt 11277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
3	1, 2	mpan2 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
4		ngtmnft 13195	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
5	3, 4	bitr4d 285	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ -∞ ↔ 𝐴 = -∞))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  -∞cmnf 11244  ℝ^*cxr 11245   < clt 11246   ≤ cle 11247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-po 5573  df-so 5574  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252

This theorem is referenced by:  infxrmnf  13367  liminflbuz2  46481