Theorem xrrebnd 13224

Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrrebnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt 13178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2		ltpnf 13175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
4		nltpnft 13220	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5		ngtmnft 13222	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
6	4, 5	orbi12d 932	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴)))
7		ianor 997	. . . . . 6 ⊢ (¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) ↔ (¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞))
8		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴))
9	7, 8	bitr2i 279	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
10	6, 9	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
11	10	con2bid 357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) ↔ ¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
12		elxr 13171	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
13		3orass 1106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
14		orcom 884	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
15	13, 14	bitri 278	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
16	12, 15	sylbb 222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
17	16	ord 878	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
18	11, 17	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
19	3, 18	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝcr 11127  +∞cpnf 11268  -∞cmnf 11269  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277

This theorem is used by:  xrre  13225  xrre2  13226  xrre3  13227  supxrre1  13386  elioc2  13466  elico2  13467  elicc2  13468  xblpnfps  24627  xblpnf  24628  isnghm3  24957  ovoliun  25739  ovolicopnf  25758  voliunlem3  25786  volsup  25790  itg2seq  25976  nmblore  31275  nmopre  32359  supxrgere  46171  supxrgelem  46175  supxrge  46176  suplesup  46177  infrpge  46189  limsupre  46477