MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrebnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrebnd 12549
Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrrebnd (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd
StepHypRef Expression
1 mnflt 12506 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 12503 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
31, 2jca 512 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
4 nltpnft 12545 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5 ngtmnft 12547 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
64, 5orbi12d 912 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴)))
7 ianor 975 . . . . . 6 (¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ (¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞))
8 orcom 864 . . . . . 6 ((¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴))
97, 8bitr2i 277 . . . . 5 ((¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
106, 9syl6bb 288 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1110con2bid 356 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ ¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
12 elxr 12499 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
13 3orass 1082 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
14 orcom 864 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1513, 14bitri 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1612, 15sylbb 220 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1716ord 858 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
1811, 17sylbid 241 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
193, 18impbid2 227 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  xrre  12550  xrre2  12551  xrre3  12552  supxrre1  12711  elioc2  12787  elico2  12788  elicc2  12789  xblpnfps  22932  xblpnf  22933  isnghm3  23261  ovoliun  24033  ovolicopnf  24052  voliunlem3  24080  volsup  24084  itg2seq  24270  nmblore  28490  nmopre  29574  supxrgere  41477  supxrgelem  41481  supxrge  41482  suplesup  41483  infrpge  41495  limsupre  41798
  Copyright terms: Public domain W3C validator