MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrrebnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrrebnd 12554
Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrrebnd (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd
StepHypRef Expression
1 mnflt 12511 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
2 ltpnf 12508 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
31, 2jca 512 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
4 nltpnft 12550 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = +∞ ↔ ¬ 𝐴 < +∞))
5 ngtmnft 12552 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
64, 5orbi12d 914 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴)))
7 ianor 977 . . . . . 6 (¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ (¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞))
8 orcom 866 . . . . . 6 ((¬ -∞ < 𝐴 ∨ ¬ 𝐴 < +∞) ↔ (¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴))
97, 8bitr2i 277 . . . . 5 ((¬ 𝐴 < +∞ ∨ ¬ -∞ < 𝐴) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞))
106, 9syl6bb 288 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ¬ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1110con2bid 356 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) ↔ ¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
12 elxr 12504 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
13 3orass 1084 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)))
14 orcom 866 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1513, 14bitri 276 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ↔ ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1612, 15sylbb 220 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∨ 𝐴 ∈ ℝ))
1716ord 860 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (¬ (𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
1811, 17sylbid 241 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((-∞ < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝐴 ∈ ℝ))
193, 18impbid2 227 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3o 1080   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5062  cr 10528  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673
This theorem is referenced by:  xrre  12555  xrre2  12556  xrre3  12557  supxrre1  12716  elioc2  12792  elico2  12793  elicc2  12794  xblpnfps  22922  xblpnf  22923  isnghm3  23251  ovoliun  24023  ovolicopnf  24042  voliunlem3  24070  volsup  24074  itg2seq  24260  nmblore  28479  nmopre  29563  supxrgere  41468  supxrgelem  41472  supxrge  41473  suplesup  41474  infrpge  41486  limsupre  41789
  Copyright terms: Public domain W3C validator