Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xreqle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xreqle 40330
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
xreqle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)

Proof of Theorem xreqle
StepHypRef Expression
1 xrleid 12269 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
21adantr 474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐴)
3 simpr 479 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
4 breq2 4876 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐴𝐴𝐵))
54biimpac 472 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
62, 3, 5syl2anc 581 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166   class class class wbr 4872  *cxr 10389  cle 10391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396
This theorem is referenced by:  xreqled  40342  sge0split  41416
  Copyright terms: Public domain W3C validator