Theorem xreqle 45779

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
xreqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xreqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 13097	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
2	1	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		simpr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
4		breq2 5079	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	biimpac 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	2, 3, 5	syl2anc 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ℝ^*cxr 11173   ≤ cle 11175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180

This theorem is referenced by:  xreqled  45789  sge0split  46866