Theorem xrleid 13186

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 880	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		xrleloe 13179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 577	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5112  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259

This theorem is used by:  xrleidd  13187  xrmax1  13211  xrmax2  13212  xrmin1  13213  xrmin2  13214  xlemul1a  13324  iooid  13410  iccid  13427  icc0  13430  ubioc1  13436  lbico1  13437  lbicc2  13501  ubicc2  13502  snunioc  13517  limsupgord  15534  ledm  18656  lern  18657  letsr  18659  xrsxmet  24982  ismbfd  25813  xraddge02  33117  xrstos  33343  elicc3  36860  xreqle  46068  snunioo1  46260