Theorem xrleid 13077

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 867	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		xrleloe 13070	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 566	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  xrleidd  13078  xrmax1  13102  xrmax2  13103  xrmin1  13104  xrmin2  13105  xlemul1a  13215  iooid  13301  iccid  13318  icc0  13321  ubioc1  13327  lbico1  13328  lbicc2  13392  ubicc2  13393  snunioc  13408  limsupgord  15407  ledm  18525  lern  18526  letsr  18528  xrsxmet  24766  ismbfd  25608  xraddge02  32847  xrstos  33102  elicc3  36530  xreqle  45673  snunioo1  45866