Theorem xrleid 12978

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 863	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		xrleloe 12971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 257	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 567	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5089  ℝ^*cxr 11101   < clt 11102   ≤ cle 11103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108

This theorem is referenced by:  xrleidd  12979  xrmax1  13002  xrmax2  13003  xrmin1  13004  xrmin2  13005  xlemul1a  13115  iooid  13200  iccid  13217  icc0  13220  ubioc1  13225  lbico1  13226  lbicc2  13289  ubicc2  13290  snunioc  13305  limsupgord  15272  ledm  18397  lern  18398  letsr  18400  xrsxmet  24070  ismbfd  24901  xraddge02  31307  xrstos  31516  elicc3  34597  xreqle  43181  snunioo1  43375