Theorem xrleid 13167

Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrleid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem xrleid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 879	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		xrleloe 13160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 261	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 576	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  ℝ^*cxr 11230   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  xrleidd  13168  xrmax1  13192  xrmax2  13193  xrmin1  13194  xrmin2  13195  xlemul1a  13305  iooid  13391  iccid  13408  icc0  13411  ubioc1  13417  lbico1  13418  lbicc2  13482  ubicc2  13483  snunioc  13498  limsupgord  15513  ledm  18636  lern  18637  letsr  18639  xrsxmet  24928  ismbfd  25759  xraddge02  33014  xrstos  33243  elicc3  36690  xreqle  45894  snunioo1  46086