Theorem xreqled 42399

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xreqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xreqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xreqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xreqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xreqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xreqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		xreqle 42387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5031  ℝ^*cxr 10753   ≤ cle 10755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-er 8321  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760

This theorem is referenced by:  suplesup  42408  infleinf  42441  infxrpnf  42517  liminfgelimsup  42857  liminfgelimsupuz  42863  climliminflimsup  42883  hoicvrrex  43628  ovolval5lem1  43724