Theorem xreqled 44501

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xreqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xreqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xreqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xreqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xreqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xreqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		xreqle 44489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ℝ^*cxr 11254   ≤ cle 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261

This theorem is referenced by:  suplesup  44510  infleinf  44543  infxrpnf  44617  liminfgelimsup  44959  liminfgelimsupuz  44965  climliminflimsup  44985  hoicvrrex  45733  ovolval5lem1  45829