Theorem xreqled 41139

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xreqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xreqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
xreqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem xreqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xreqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xreqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		xreqle 41127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   class class class wbr 4962  ℝ^*cxr 10520   ≤ cle 10522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527

This theorem is referenced by:  suplesup  41148  infleinf  41181  infxrpnf  41263  liminfgelimsup  41605  liminfgelimsupuz  41611  climliminflimsup  41631  hoicvrrex  42380  ovolval5lem1  42476