Theorem dfima3 4952

Description: Alternate definition of image. (Contributed by set.mm contributors, 19-Apr-2004.) (Revised by set.mm contributors, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfima3	⊢ (A “ B) = ran (A ↾ B)

Proof of Theorem dfima3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres 4951	. . . . 5 ⊢ (⟨y, x⟩ ∈ (A ↾ B) ↔ (⟨y, x⟩ ∈ A ∧ y ∈ B))
2		ancom 437	. . . . 5 ⊢ ((⟨y, x⟩ ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ (y ∈ B ∧ ⟨y, x⟩ ∈ A))
3	1, 2	bitri 240	. . . 4 ⊢ (⟨y, x⟩ ∈ (A ↾ B) ↔ (y ∈ B ∧ ⟨y, x⟩ ∈ A))
4	3	exbii 1582	. . 3 ⊢ (∃y⟨y, x⟩ ∈ (A ↾ B) ↔ ∃y(y ∈ B ∧ ⟨y, x⟩ ∈ A))
5		elrn2 4898	. . 3 ⊢ (x ∈ ran (A ↾ B) ↔ ∃y⟨y, x⟩ ∈ (A ↾ B))
6		elima3 4757	. . 3 ⊢ (x ∈ (A “ B) ↔ ∃y(y ∈ B ∧ ⟨y, x⟩ ∈ A))
7	4, 5, 6	3bitr4ri 269	. 2 ⊢ (x ∈ (A “ B) ↔ x ∈ ran (A ↾ B))
8	7	eqriv 2350	1 ⊢ (A “ B) = ran (A ↾ B)

Syntax hints:   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562   “ cima 4723  ran crn 4774   ↾ cres 4775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-ima 4728  df-xp 4785  df-rn 4787  df-res 4789

This theorem is referenced by:  resima  5007  resima2  5008  rnresi  5012  resiima  5013  ima0  5014  imadisj  5016  imass1  5024  imass2  5025  ndmima  5026  imaundi  5040  imaundir  5041  rninxp  5061  imadmres  5080  rnco2  5089  funcnvres  5166  funimacnv  5169  fnima  5202  fores  5279  f1orescnv  5302  foimacnv  5304  resdif  5307  funfvima  5460  mptpreima  5683  fundmen  6044