Theorem f1orescnv 5301

Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)

Assertion

Ref	Expression
f1orescnv	⊢ ((Fun ◡F ∧ (F ↾ R):R–1-1-onto→P) → (◡F ↾ P):P–1-1-onto→R)

Proof of Theorem f1orescnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5299	. . 3 ⊢ ((F ↾ R):R–1-1-onto→P → ◡(F ↾ R):P–1-1-onto→R)
2	1	adantl 452	. 2 ⊢ ((Fun ◡F ∧ (F ↾ R):R–1-1-onto→P) → ◡(F ↾ R):P–1-1-onto→R)
3		funcnvres 5165	. . . 4 ⊢ (Fun ◡F → ◡(F ↾ R) = (◡F ↾ (F “ R)))
4		dfima3 4951	. . . . . 6 ⊢ (F “ R) = ran (F ↾ R)
5		dff1o5 5295	. . . . . . 7 ⊢ ((F ↾ R):R–1-1-onto→P ↔ ((F ↾ R):R–1-1→P ∧ ran (F ↾ R) = P))
6	5	simprbi 450	. . . . . 6 ⊢ ((F ↾ R):R–1-1-onto→P → ran (F ↾ R) = P)
7	4, 6	syl5eq 2397	. . . . 5 ⊢ ((F ↾ R):R–1-1-onto→P → (F “ R) = P)
8	7	reseq2d 4934	. . . 4 ⊢ ((F ↾ R):R–1-1-onto→P → (◡F ↾ (F “ R)) = (◡F ↾ P))
9	3, 8	sylan9eq 2405	. . 3 ⊢ ((Fun ◡F ∧ (F ↾ R):R–1-1-onto→P) → ◡(F ↾ R) = (◡F ↾ P))
10		f1oeq1 5281	. . 3 ⊢ (◡(F ↾ R) = (◡F ↾ P) → (◡(F ↾ R):P–1-1-onto→R ↔ (◡F ↾ P):P–1-1-onto→R))
11	9, 10	syl 15	. 2 ⊢ ((Fun ◡F ∧ (F ↾ R):R–1-1-onto→P) → (◡(F ↾ R):P–1-1-onto→R ↔ (◡F ↾ P):P–1-1-onto→R))
12	2, 11	mpbid 201	1 ⊢ ((Fun ◡F ∧ (F ↾ R):R–1-1-onto→P) → (◡F ↾ P):P–1-1-onto→R)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   “ cima 4722  ^◡ccnv 4771  ran crn 4773   ↾ cres 4774  Fun wfun 4775  –1-1→wf1 4778  –1-1-onto→wf1o 4780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794

This theorem is referenced by: (None)