New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  elres GIF version

Theorem elres 4995
 Description: Membership in a restriction. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
elres (A (B C) ↔ x C y(A = x, y x, y B))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elres
StepHypRef Expression
1 eleq1 2413 . . . . . 6 (A = x, y → (A (B C) ↔ x, y (B C)))
2 opelres 4950 . . . . . . 7 (x, y (B C) ↔ (x, y B x C))
3 ancom 437 . . . . . . 7 ((x, y B x C) ↔ (x C x, y B))
42, 3bitri 240 . . . . . 6 (x, y (B C) ↔ (x C x, y B))
51, 4syl6bb 252 . . . . 5 (A = x, y → (A (B C) ↔ (x C x, y B)))
65pm5.32i 618 . . . 4 ((A = x, y A (B C)) ↔ (A = x, y (x C x, y B)))
7 an12 772 . . . 4 ((A = x, y (x C x, y B)) ↔ (x C (A = x, y x, y B)))
86, 7bitri 240 . . 3 ((A = x, y A (B C)) ↔ (x C (A = x, y x, y B)))
982exbii 1583 . 2 (xy(A = x, y A (B C)) ↔ xy(x C (A = x, y x, y B)))
10 opeqex 4621 . . . 4 (A (B C) → xy A = x, y)
1110pm4.71ri 614 . . 3 (A (B C) ↔ (xy A = x, y A (B C)))
12 19.41vv 1902 . . 3 (xy(A = x, y A (B C)) ↔ (xy A = x, y A (B C)))
1311, 12bitr4i 243 . 2 (A (B C) ↔ xy(A = x, y A (B C)))
14 df-rex 2620 . . 3 (x C y(A = x, y x, y B) ↔ x(x C y(A = x, y x, y B)))
15 exdistr 1906 . . 3 (xy(x C (A = x, y x, y B)) ↔ x(x C y(A = x, y x, y B)))
1614, 15bitr4i 243 . 2 (x C y(A = x, y x, y B) ↔ xy(x C (A = x, y x, y B)))
179, 13, 163bitr4i 268 1 (A (B C) ↔ x C y(A = x, y x, y B))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  ⟨cop 4561   ↾ cres 4774 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-xp 4784  df-res 4788 This theorem is referenced by:  elsnres  4996
 Copyright terms: Public domain W3C validator