Theorem erref 5959

Description: An equivalence relation is reflexive on its field. Compare Theorem 3M of [Enderton] p. 56. (Contributed by set.mm contributors, 6-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
erref.1	⊢ (φ → R Er V)
erref.2	⊢ (φ → dom R = A)
erref.3	⊢ (φ → X ∈ A)

Assertion

Ref	Expression
erref	⊢ (φ → XRX)

Proof of Theorem erref

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erref.3	. 2 ⊢ (φ → X ∈ A)
2		erref.2	. . . 4 ⊢ (φ → dom R = A)
3	2	eleq2d 2420	. . 3 ⊢ (φ → (X ∈ dom R ↔ X ∈ A))
4		eldm 4898	. . . 4 ⊢ (X ∈ dom R ↔ ∃y XRy)
5		erref.1	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → R Er V)
6	5	adantr 451	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ XRy) → R Er V)
7		elex 2867	. . . . . . . . 9 ⊢ (X ∈ A → X ∈ V)
8	1, 7	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → X ∈ V)
9	8	adantr 451	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ XRy) → X ∈ V)
10		vex 2862	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
11	10	a1i 10	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ XRy) → y ∈ V)
12		simpr 447	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ XRy) → XRy)
13	6, 9, 11, 9, 12, 12	ertr4d 5958	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ XRy) → XRX)
14	13	ex 423	. . . . 5 ⊢ (φ → (XRy → XRX))
15	14	exlimdv 1636	. . . 4 ⊢ (φ → (∃y XRy → XRX))
16	4, 15	syl5bi 208	. . 3 ⊢ (φ → (X ∈ dom R → XRX))
17	3, 16	sylbird 226	. 2 ⊢ (φ → (X ∈ A → XRX))
18	1, 17	mpd 14	1 ⊢ (φ → XRX)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   class class class wbr 4639  dom cdm 4772   Er cer 5898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-ima 4727  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909

This theorem is referenced by:  erth  5968