New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  eqerlem GIF version

Theorem eqerlem 5960
 Description: Lemma for eqer 5961. (Contributed by set.mm contributors, 17-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
eqer.1 (x = yA = B)
eqer.2 R = {x, y A = B}
Assertion
Ref Expression
eqerlem (zRw[z / x]A = [w / x]A)
Distinct variable groups:   y,A   x,B   z,w,R   x,w,y,z
Allowed substitution hints:   A(x,z,w)   B(y,z,w)   R(x,y)

Proof of Theorem eqerlem
StepHypRef Expression
1 eqer.2 . . . 4 R = {x, y A = B}
21brabsb 4698 . . 3 (zRw ↔ [̣z / x]̣[̣w / yA = B)
3 sbccom 3117 . . 3 ([̣z / x]̣[̣w / yA = B ↔ [̣w / y]̣[̣z / xA = B)
42, 3bitri 240 . 2 (zRw ↔ [̣w / y]̣[̣z / xA = B)
5 vex 2862 . . . . 5 z V
6 sbceq1g 3156 . . . . 5 (z V → ([̣z / xA = B[z / x]A = B))
75, 6ax-mp 8 . . . 4 ([̣z / xA = B[z / x]A = B)
8 vex 2862 . . . . . 6 y V
9 nfcv 2489 . . . . . 6 xB
10 eqer.1 . . . . . 6 (x = yA = B)
118, 9, 10csbief 3177 . . . . 5 [y / x]A = B
1211eqeq2i 2363 . . . 4 ([z / x]A = [y / x]A[z / x]A = B)
137, 12bitr4i 243 . . 3 ([̣z / xA = B[z / x]A = [y / x]A)
1413sbcbii 3101 . 2 ([̣w / y]̣[̣z / xA = B ↔ [̣w / y[z / x]A = [y / x]A)
15 vex 2862 . . . 4 w V
16 sbceq2g 3158 . . . 4 (w V → ([̣w / y[z / x]A = [y / x]A[z / x]A = [w / y][y / x]A))
1715, 16ax-mp 8 . . 3 ([̣w / y[z / x]A = [y / x]A[z / x]A = [w / y][y / x]A)
18 csbco 3145 . . . 4 [w / y][y / x]A = [w / x]A
1918eqeq2i 2363 . . 3 ([z / x]A = [w / y][y / x]A[z / x]A = [w / x]A)
2017, 19bitri 240 . 2 ([̣w / y[z / x]A = [y / x]A[z / x]A = [w / x]A)
214, 14, 203bitri 262 1 (zRw[z / x]A = [w / x]A)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859  [̣wsbc 3046  [csb 3136  {copab 4622   class class class wbr 4639 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640 This theorem is referenced by:  eqer  5961
 Copyright terms: Public domain W3C validator