Theorem lecidg 6196

Description: A non-empty set is less than or equal to itself. Theorem XI.2.14 of [Rosser] p. 375. (Contributed by SF, 4-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lecidg	⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → A ≤c A)

Proof of Theorem lecidg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3290	. . . . . . 7 ⊢ x ⊆ x
2		sseq2 3293	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (x ⊆ y ↔ x ⊆ x))
3	2	rspcev 2955	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ x ⊆ x) → ∃y ∈ A x ⊆ y)
4	1, 3	mpan2 652	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A → ∃y ∈ A x ⊆ y)
5	4	ancli 534	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → (x ∈ A ∧ ∃y ∈ A x ⊆ y))
6	5	eximi 1576	. . . 4 ⊢ (∃x x ∈ A → ∃x(x ∈ A ∧ ∃y ∈ A x ⊆ y))
7		n0 3559	. . . 4 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ∃x x ∈ A)
8		df-rex 2620	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A ∃y ∈ A x ⊆ y ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ∃y ∈ A x ⊆ y))
9	6, 7, 8	3imtr4i 257	. . 3 ⊢ (A ≠ ∅ → ∃x ∈ A ∃y ∈ A x ⊆ y)
10	9	adantl 452	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∃y ∈ A x ⊆ y)
11		brlecg 6112	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ∈ V) → (A ≤c A ↔ ∃x ∈ A ∃y ∈ A x ⊆ y))
12	11	anidms 626	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (A ≤c A ↔ ∃x ∈ A ∃y ∈ A x ⊆ y))
13	12	adantr 451	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → (A ≤c A ↔ ∃x ∈ A ∃y ∈ A x ⊆ y))
14	10, 13	mpbird 223	1 ⊢ ((A ∈ V ∧ A ≠ ∅) → A ≤c A)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615   ⊆ wss 3257  ∅c0 3550   class class class wbr 4639   ≤_c clec 6089

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-lec 6099

This theorem is referenced by:  nclecid  6197