Theorem ncfinprop 4475

Description: Properties of finite cardinal number. Theorem X.1.23 of [Rosser] p. 527 (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ncfinprop	⊢ ((V ∈ Fin ∧ A ∈ V) → ( Ncfin A ∈ Nn ∧ A ∈ Ncfin A))

Proof of Theorem ncfinprop

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ncfin 4443	. . . 4 ⊢ Ncfin A = (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x))
2		vfinnc 4472	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → ∃!x ∈ Nn A ∈ x)
3		reiotacl 4365	. . . . 5 ⊢ (∃!x ∈ Nn A ∈ x → (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) ∈ Nn )
4	2, 3	syl 15	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) ∈ Nn )
5	1, 4	syl5eqel 2437	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → Ncfin A ∈ Nn )
6	1	eqcomi 2357	. . . 4 ⊢ (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) = Ncfin A
7		eleq2 2414	. . . . . 6 ⊢ (x = Ncfin A → (A ∈ x ↔ A ∈ Ncfin A))
8	7	reiota2 4369	. . . . 5 ⊢ (( Ncfin A ∈ Nn ∧ ∃!x ∈ Nn A ∈ x) → (A ∈ Ncfin A ↔ (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) = Ncfin A))
9	5, 2, 8	syl2anc 642	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → (A ∈ Ncfin A ↔ (℩x(x ∈ Nn ∧ A ∈ x)) = Ncfin A))
10	6, 9	mpbiri 224	. . 3 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → A ∈ Ncfin A)
11	5, 10	jca 518	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ V ∈ Fin ) → ( Ncfin A ∈ Nn ∧ A ∈ Ncfin A))
12	11	ancoms 439	1 ⊢ ((V ∈ Fin ∧ A ∈ V) → ( Ncfin A ∈ Nn ∧ A ∈ Ncfin A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃!wreu 2617  Vcvv 2860  ℩cio 4338   Nn cnnc 4374   Fin cfin 4377   Nc_fin cncfin 4435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-ncfin 4443

This theorem is referenced by:  ncfindi  4476  ncfinsn  4477  ncfineleq  4478  ncfintfin  4496  vfinspnn  4542  1cvsfin  4543  vfintle  4547  vfin1cltv  4548  vfinncvntnn  4549  vfinspsslem1  4551  vfinncsp  4555  vinf  4556