Theorem oprssdm 5613

Description: Domain of closure of an operation. (Contributed by set.mm contributors, 24-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprssdm.1	⊢ ¬ ∅ ∈ S
oprssdm.2	⊢ ((x ∈ S ∧ y ∈ S) → (xFy) ∈ S)

Assertion

Ref	Expression
oprssdm	⊢ (S × S) ⊆ dom F

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem oprssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4812	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (S × S) ↔ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
2		ndmfv 5350	. . . . 5 ⊢ (¬ ⟨x, y⟩ ∈ dom F → (F ‘⟨x, y⟩) = ∅)
3		df-ov 5527	. . . . . . . 8 ⊢ (xFy) = (F ‘⟨x, y⟩)
4	3	eqeq1i 2360	. . . . . . 7 ⊢ ((xFy) = ∅ ↔ (F ‘⟨x, y⟩) = ∅)
5		oprssdm.1	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ S
6		eleq1 2413	. . . . . . . 8 ⊢ ((xFy) = ∅ → ((xFy) ∈ S ↔ ∅ ∈ S))
7	5, 6	mtbiri 294	. . . . . . 7 ⊢ ((xFy) = ∅ → ¬ (xFy) ∈ S)
8	4, 7	sylbir 204	. . . . . 6 ⊢ ((F ‘⟨x, y⟩) = ∅ → ¬ (xFy) ∈ S)
9		oprssdm.2	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ S ∧ y ∈ S) → (xFy) ∈ S)
10	8, 9	nsyl 113	. . . . 5 ⊢ ((F ‘⟨x, y⟩) = ∅ → ¬ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
11	2, 10	syl 15	. . . 4 ⊢ (¬ ⟨x, y⟩ ∈ dom F → ¬ (x ∈ S ∧ y ∈ S))
12	11	con4i 122	. . 3 ⊢ ((x ∈ S ∧ y ∈ S) → ⟨x, y⟩ ∈ dom F)
13	1, 12	sylbi 187	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (S × S) → ⟨x, y⟩ ∈ dom F)
14	13	relssi 4849	1 ⊢ (S × S) ⊆ dom F

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ⊆ wss 3258  ∅c0 3551  ⟨cop 4562   × cxp 4771  dom cdm 4773   ‘cfv 4782  (class class class)co 5526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-ima 4728  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-fv 4796  df-ov 5527

This theorem is referenced by: (None)