Theorem phi11lem1 4596

Description: Lemma for phi11 4597. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phi11lem1	⊢ ( Phi A = Phi B → A ⊆ B)

Proof of Theorem phi11lem1

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3669	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ Nn → if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z) = (z +c 1c))
2	1	eqcomd 2358	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ Nn → (z +c 1c) = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z))
3		eleq1 2413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → (y ∈ Nn ↔ z ∈ Nn ))
4		addceq1 4384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → (y +c 1c) = (z +c 1c))
5		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → y = z)
6	3, 4, 5	ifbieq12d 3685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z))
7	6	eqeq2d 2364	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → ((z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ (z +c 1c) = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z)))
8	7	rspcev 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ A ∧ (z +c 1c) = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z)) → ∃y ∈ A (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
9	2, 8	sylan2 460	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ A ∧ z ∈ Nn ) → ∃y ∈ A (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
10	9	ancoms 439	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → ∃y ∈ A (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
11		vex 2863	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
12		1cex 4143	. . . . . . . 8 ⊢ 1c ∈ V
13	11, 12	addcex 4395	. . . . . . 7 ⊢ (z +c 1c) ∈ V
14		eqeq1 2359	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (z +c 1c) → (x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)))
15	14	rexbidv 2636	. . . . . . 7 ⊢ (x = (z +c 1c) → (∃y ∈ A x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ ∃y ∈ A (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)))
16		df-phi 4566	. . . . . . 7 ⊢ Phi A = {x ∣ ∃y ∈ A x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)}
17	13, 15, 16	elab2 2989	. . . . . 6 ⊢ ((z +c 1c) ∈ Phi A ↔ ∃y ∈ A (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
18	10, 17	sylibr 203	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → (z +c 1c) ∈ Phi A)
19		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 ⊢ ( Phi A = Phi B → ((z +c 1c) ∈ Phi A ↔ (z +c 1c) ∈ Phi B))
20	19	biimpac 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((z +c 1c) ∈ Phi A ∧ Phi A = Phi B) → (z +c 1c) ∈ Phi B)
21	14	rexbidv 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (z +c 1c) → (∃y ∈ B x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ ∃y ∈ B (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)))
22		df-phi 4566	. . . . . . . . . 10 ⊢ Phi B = {x ∣ ∃y ∈ B x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)}
23	13, 21, 22	elab2 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z +c 1c) ∈ Phi B ↔ ∃y ∈ B (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
24		iffalse 3670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ y ∈ Nn → if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) = y)
25	24	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ y ∈ Nn → ((z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ (z +c 1c) = y))
26	25	biimpac 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ∧ ¬ y ∈ Nn ) → (z +c 1c) = y)
27		peano2 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ Nn → (z +c 1c) ∈ Nn )
28		eleq1 2413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((z +c 1c) = y → ((z +c 1c) ∈ Nn ↔ y ∈ Nn ))
29	27, 28	syl5ibcom 211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ Nn → ((z +c 1c) = y → y ∈ Nn ))
30	26, 29	syl5 28	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ Nn → (((z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ∧ ¬ y ∈ Nn ) → y ∈ Nn ))
31	30	expdimp 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → (¬ y ∈ Nn → y ∈ Nn ))
32	31	pm2.18d 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y ∈ Nn )
33		simpl 443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → z ∈ Nn )
34		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
35		iftrue 3669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ Nn → if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) = (y +c 1c))
36	32, 35	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) = (y +c 1c))
37	34, 36	eqtr2d 2386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → (y +c 1c) = (z +c 1c))
38		peano4 4558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ Nn ∧ z ∈ Nn ∧ (y +c 1c) = (z +c 1c)) → y = z)
39	32, 33, 37, 38	syl3anc 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
40	39	3adant2 974	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ y ∈ B ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
41		simp2 956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ y ∈ B ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y ∈ B)
42	40, 41	eqeltrrd 2428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ y ∈ B ∧ (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → z ∈ B)
43	42	3expia 1153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ y ∈ B) → ((z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → z ∈ B))
44	43	rexlimdva 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ Nn → (∃y ∈ B (z +c 1c) = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → z ∈ B))
45	23, 44	syl5bi 208	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ Nn → ((z +c 1c) ∈ Phi B → z ∈ B))
46	20, 45	syl5 28	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ Nn → (((z +c 1c) ∈ Phi A ∧ Phi A = Phi B) → z ∈ B))
47	46	exp3a 425	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ Nn → ((z +c 1c) ∈ Phi A → ( Phi A = Phi B → z ∈ B)))
48	47	adantr 451	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → ((z +c 1c) ∈ Phi A → ( Phi A = Phi B → z ∈ B)))
49	18, 48	mpd 14	. . . 4 ⊢ ((z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → ( Phi A = Phi B → z ∈ B))
50		iffalse 3670	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ z ∈ Nn → if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z) = z)
51	50	eqcomd 2358	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ z ∈ Nn → z = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z))
52	6	eqeq2d 2364	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ z = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z)))
53	52	rspcev 2956	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ A ∧ z = if(z ∈ Nn , (z +c 1c), z)) → ∃y ∈ A z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
54	51, 53	sylan2 460	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ A ∧ ¬ z ∈ Nn ) → ∃y ∈ A z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
55	54	ancoms 439	. . . . . 6 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → ∃y ∈ A z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
56		eqeq1 2359	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)))
57	56	rexbidv 2636	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → (∃y ∈ A x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ ∃y ∈ A z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)))
58	11, 57, 16	elab2 2989	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ Phi A ↔ ∃y ∈ A z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
59	55, 58	sylibr 203	. . . . 5 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → z ∈ Phi A)
60		eleq2 2414	. . . . . . . . 9 ⊢ ( Phi A = Phi B → (z ∈ Phi A ↔ z ∈ Phi B))
61	60	biimpac 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ Phi A ∧ Phi A = Phi B) → z ∈ Phi B)
62	56	rexbidv 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → (∃y ∈ B x = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ ∃y ∈ B z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)))
63	11, 62, 22	elab2 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ Phi B ↔ ∃y ∈ B z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
64		simpr 447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y))
65	35	eqeq2d 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ Nn → (z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) ↔ z = (y +c 1c)))
66		peano2 4404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (y ∈ Nn → (y +c 1c) ∈ Nn )
67		eleq1a 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y +c 1c) ∈ Nn → (z = (y +c 1c) → z ∈ Nn ))
68	66, 67	syl 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y ∈ Nn → (z = (y +c 1c) → z ∈ Nn ))
69	65, 68	sylbid 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y ∈ Nn → (z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → z ∈ Nn ))
70	69	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → (y ∈ Nn → z ∈ Nn ))
71	70	con3d 125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → (¬ z ∈ Nn → ¬ y ∈ Nn ))
72	71	impcom 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → ¬ y ∈ Nn )
73	72, 24	syl 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) = y)
74	64, 73	eqtr2d 2386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
75	74	adantlr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ z ∈ Nn ∧ y ∈ B) ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
76		simplr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((¬ z ∈ Nn ∧ y ∈ B) ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → y ∈ B)
77	75, 76	eqeltrrd 2428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((¬ z ∈ Nn ∧ y ∈ B) ∧ z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y)) → z ∈ B)
78	77	ex 423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ y ∈ B) → (z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → z ∈ B))
79	78	rexlimdva 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ z ∈ Nn → (∃y ∈ B z = if(y ∈ Nn , (y +c 1c), y) → z ∈ B))
80	63, 79	syl5bi 208	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ z ∈ Nn → (z ∈ Phi B → z ∈ B))
81	61, 80	syl5 28	. . . . . . 7 ⊢ (¬ z ∈ Nn → ((z ∈ Phi A ∧ Phi A = Phi B) → z ∈ B))
82	81	exp3a 425	. . . . . 6 ⊢ (¬ z ∈ Nn → (z ∈ Phi A → ( Phi A = Phi B → z ∈ B)))
83	82	adantr 451	. . . . 5 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → (z ∈ Phi A → ( Phi A = Phi B → z ∈ B)))
84	59, 83	mpd 14	. . . 4 ⊢ ((¬ z ∈ Nn ∧ z ∈ A) → ( Phi A = Phi B → z ∈ B))
85	49, 84	pm2.61ian 765	. . 3 ⊢ (z ∈ A → ( Phi A = Phi B → z ∈ B))
86	85	com12 27	. 2 ⊢ ( Phi A = Phi B → (z ∈ A → z ∈ B))
87	86	ssrdv 3279	1 ⊢ ( Phi A = Phi B → A ⊆ B)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2616   ⊆ wss 3258   ifcif 3663  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   Phi cphi 4563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566

This theorem is referenced by:  phi11  4597