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Theorem phi11lem1 4595
Description: Lemma for phi11 4596. (Contributed by SF, 3-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
phi11lem1 ( Phi A = Phi BA B)

Proof of Theorem phi11lem1
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3668 . . . . . . . . 9 (z Nn → if(z Nn , (z +c 1c), z) = (z +c 1c))
21eqcomd 2358 . . . . . . . 8 (z Nn → (z +c 1c) = if(z Nn , (z +c 1c), z))
3 eleq1 2413 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (y Nnz Nn ))
4 addceq1 4383 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (y +c 1c) = (z +c 1c))
5 id 19 . . . . . . . . . . 11 (y = zy = z)
63, 4, 5ifbieq12d 3684 . . . . . . . . . 10 (y = z → if(y Nn , (y +c 1c), y) = if(z Nn , (z +c 1c), z))
76eqeq2d 2364 . . . . . . . . 9 (y = z → ((z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ (z +c 1c) = if(z Nn , (z +c 1c), z)))
87rspcev 2955 . . . . . . . 8 ((z A (z +c 1c) = if(z Nn , (z +c 1c), z)) → y A (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y))
92, 8sylan2 460 . . . . . . 7 ((z A z Nn ) → y A (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y))
109ancoms 439 . . . . . 6 ((z Nn z A) → y A (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y))
11 vex 2862 . . . . . . . 8 z V
12 1cex 4142 . . . . . . . 8 1c V
1311, 12addcex 4394 . . . . . . 7 (z +c 1c) V
14 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (x = (z +c 1c) → (x = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)))
1514rexbidv 2635 . . . . . . 7 (x = (z +c 1c) → (y A x = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ y A (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)))
16 df-phi 4565 . . . . . . 7 Phi A = {x y A x = if(y Nn , (y +c 1c), y)}
1713, 15, 16elab2 2988 . . . . . 6 ((z +c 1c) Phi Ay A (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y))
1810, 17sylibr 203 . . . . 5 ((z Nn z A) → (z +c 1c) Phi A)
19 eleq2 2414 . . . . . . . . 9 ( Phi A = Phi B → ((z +c 1c) Phi A ↔ (z +c 1c) Phi B))
2019biimpac 472 . . . . . . . 8 (((z +c 1c) Phi A Phi A = Phi B) → (z +c 1c) Phi B)
2114rexbidv 2635 . . . . . . . . . 10 (x = (z +c 1c) → (y B x = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ y B (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)))
22 df-phi 4565 . . . . . . . . . 10 Phi B = {x y B x = if(y Nn , (y +c 1c), y)}
2313, 21, 22elab2 2988 . . . . . . . . 9 ((z +c 1c) Phi By B (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y))
24 iffalse 3669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 y Nn → if(y Nn , (y +c 1c), y) = y)
2524eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 y Nn → ((z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ (z +c 1c) = y))
2625biimpac 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y) ¬ y Nn ) → (z +c 1c) = y)
27 peano2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (z Nn → (z +c 1c) Nn )
28 eleq1 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((z +c 1c) = y → ((z +c 1c) Nny Nn ))
2927, 28syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (z Nn → ((z +c 1c) = yy Nn ))
3026, 29syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z Nn → (((z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y) ¬ y Nn ) → y Nn ))
3130expdimp 426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → (¬ y Nny Nn ))
3231pm2.18d 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y Nn )
33 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → z Nn )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y))
35 iftrue 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (y Nn → if(y Nn , (y +c 1c), y) = (y +c 1c))
3632, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → if(y Nn , (y +c 1c), y) = (y +c 1c))
3734, 36eqtr2d 2386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → (y +c 1c) = (z +c 1c))
38 peano4 4557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((y Nn z Nn (y +c 1c) = (z +c 1c)) → y = z)
3932, 33, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 ((z Nn (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
40393adant2 974 . . . . . . . . . . . 12 ((z Nn y B (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
41 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12 ((z Nn y B (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y B)
4240, 41eqeltrrd 2428 . . . . . . . . . . 11 ((z Nn y B (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → z B)
43423expia 1153 . . . . . . . . . 10 ((z Nn y B) → ((z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y) → z B))
4443rexlimdva 2738 . . . . . . . . 9 (z Nn → (y B (z +c 1c) = if(y Nn , (y +c 1c), y) → z B))
4523, 44syl5bi 208 . . . . . . . 8 (z Nn → ((z +c 1c) Phi Bz B))
4620, 45syl5 28 . . . . . . 7 (z Nn → (((z +c 1c) Phi A Phi A = Phi B) → z B))
4746exp3a 425 . . . . . 6 (z Nn → ((z +c 1c) Phi A → ( Phi A = Phi Bz B)))
4847adantr 451 . . . . 5 ((z Nn z A) → ((z +c 1c) Phi A → ( Phi A = Phi Bz B)))
4918, 48mpd 14 . . . 4 ((z Nn z A) → ( Phi A = Phi Bz B))
50 iffalse 3669 . . . . . . . . 9 z Nn → if(z Nn , (z +c 1c), z) = z)
5150eqcomd 2358 . . . . . . . 8 z Nnz = if(z Nn , (z +c 1c), z))
526eqeq2d 2364 . . . . . . . . 9 (y = z → (z = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ z = if(z Nn , (z +c 1c), z)))
5352rspcev 2955 . . . . . . . 8 ((z A z = if(z Nn , (z +c 1c), z)) → y A z = if(y Nn , (y +c 1c), y))
5451, 53sylan2 460 . . . . . . 7 ((z A ¬ z Nn ) → y A z = if(y Nn , (y +c 1c), y))
5554ancoms 439 . . . . . 6 ((¬ z Nn z A) → y A z = if(y Nn , (y +c 1c), y))
56 eqeq1 2359 . . . . . . . 8 (x = z → (x = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ z = if(y Nn , (y +c 1c), y)))
5756rexbidv 2635 . . . . . . 7 (x = z → (y A x = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ y A z = if(y Nn , (y +c 1c), y)))
5811, 57, 16elab2 2988 . . . . . 6 (z Phi Ay A z = if(y Nn , (y +c 1c), y))
5955, 58sylibr 203 . . . . 5 ((¬ z Nn z A) → z Phi A)
60 eleq2 2414 . . . . . . . . 9 ( Phi A = Phi B → (z Phi Az Phi B))
6160biimpac 472 . . . . . . . 8 ((z Phi A Phi A = Phi B) → z Phi B)
6256rexbidv 2635 . . . . . . . . . 10 (x = z → (y B x = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ y B z = if(y Nn , (y +c 1c), y)))
6311, 62, 22elab2 2988 . . . . . . . . 9 (z Phi By B z = if(y Nn , (y +c 1c), y))
64 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ z Nn z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → z = if(y Nn , (y +c 1c), y))
6535eqeq2d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y Nn → (z = if(y Nn , (y +c 1c), y) ↔ z = (y +c 1c)))
66 peano2 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (y Nn → (y +c 1c) Nn )
67 eleq1a 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((y +c 1c) Nn → (z = (y +c 1c) → z Nn ))
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y Nn → (z = (y +c 1c) → z Nn ))
6965, 68sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (y Nn → (z = if(y Nn , (y +c 1c), y) → z Nn ))
7069com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (z = if(y Nn , (y +c 1c), y) → (y Nnz Nn ))
7170con3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z = if(y Nn , (y +c 1c), y) → (¬ z Nn → ¬ y Nn ))
7271impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ z Nn z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → ¬ y Nn )
7372, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ z Nn z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → if(y Nn , (y +c 1c), y) = y)
7464, 73eqtr2d 2386 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ z Nn z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
7574adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ z Nn y B) z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y = z)
76 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ z Nn y B) z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → y B)
7775, 76eqeltrrd 2428 . . . . . . . . . . 11 (((¬ z Nn y B) z = if(y Nn , (y +c 1c), y)) → z B)
7877ex 423 . . . . . . . . . 10 ((¬ z Nn y B) → (z = if(y Nn , (y +c 1c), y) → z B))
7978rexlimdva 2738 . . . . . . . . 9 z Nn → (y B z = if(y Nn , (y +c 1c), y) → z B))
8063, 79syl5bi 208 . . . . . . . 8 z Nn → (z Phi Bz B))
8161, 80syl5 28 . . . . . . 7 z Nn → ((z Phi A Phi A = Phi B) → z B))
8281exp3a 425 . . . . . 6 z Nn → (z Phi A → ( Phi A = Phi Bz B)))
8382adantr 451 . . . . 5 ((¬ z Nn z A) → (z Phi A → ( Phi A = Phi Bz B)))
8459, 83mpd 14 . . . 4 ((¬ z Nn z A) → ( Phi A = Phi Bz B))
8549, 84pm2.61ian 765 . . 3 (z A → ( Phi A = Phi Bz B))
8685com12 27 . 2 ( Phi A = Phi B → (z Az B))
8786ssrdv 3278 1 ( Phi A = Phi BA B)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 358   w3a 934   = wceq 1642   wcel 1710  wrex 2615   wss 3257   ifcif 3662  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375   Phi cphi 4562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565
This theorem is referenced by:  phi11  4596
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