New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  peano2 GIF version

Theorem peano2 4403
 Description: The finite cardinals are closed under addition of one. Theorem X.1.5 of [Rosser] p. 276. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (A Nn → (A +c 1c) Nn )

Proof of Theorem peano2
Dummy variables a x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addceq1 4383 . . 3 (a = A → (a +c 1c) = (A +c 1c))
21eleq1d 2419 . 2 (a = A → ((a +c 1c) Nn ↔ (A +c 1c) Nn ))
3 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (y = a → (y +c 1c) = (a +c 1c))
43eleq1d 2419 . . . . . . 7 (y = a → ((y +c 1c) x ↔ (a +c 1c) x))
54rspccv 2952 . . . . . 6 (y x (y +c 1c) x → (a x → (a +c 1c) x))
65adantl 452 . . . . 5 ((0c x y x (y +c 1c) x) → (a x → (a +c 1c) x))
76a2i 12 . . . 4 (((0c x y x (y +c 1c) x) → a x) → ((0c x y x (y +c 1c) x) → (a +c 1c) x))
87alimi 1559 . . 3 (x((0c x y x (y +c 1c) x) → a x) → x((0c x y x (y +c 1c) x) → (a +c 1c) x))
9 df-nnc 4379 . . . . 5 Nn = {x (0c x y x (y +c 1c) x)}
109eleq2i 2417 . . . 4 (a Nna {x (0c x y x (y +c 1c) x)})
11 vex 2862 . . . . 5 a V
1211elintab 3937 . . . 4 (a {x (0c x y x (y +c 1c) x)} ↔ x((0c x y x (y +c 1c) x) → a x))
1310, 12bitri 240 . . 3 (a Nnx((0c x y x (y +c 1c) x) → a x))
149eleq2i 2417 . . . 4 ((a +c 1c) Nn ↔ (a +c 1c) {x (0c x y x (y +c 1c) x)})
15 1cex 4142 . . . . . 6 1c V
1611, 15addcex 4394 . . . . 5 (a +c 1c) V
1716elintab 3937 . . . 4 ((a +c 1c) {x (0c x y x (y +c 1c) x)} ↔ x((0c x y x (y +c 1c) x) → (a +c 1c) x))
1814, 17bitri 240 . . 3 ((a +c 1c) Nnx((0c x y x (y +c 1c) x) → (a +c 1c) x))
198, 13, 183imtr4i 257 . 2 (a Nn → (a +c 1c) Nn )
202, 19vtoclga 2920 1 (A Nn → (A +c 1c) Nn )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358  ∀wal 1540   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339  ∀wral 2614  ∩cint 3926  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-addc 4378  df-nnc 4379 This theorem is referenced by:  1cnnc  4408  peano5  4409  nnc0suc  4412  nncaddccl  4419  ltfinirr  4457  ltfintr  4459  lefinlteq  4463  ltfintri  4466  ltlefin  4468  ssfin  4470  ncfinraise  4481  ncfinlower  4483  tfinsuc  4498  oddnn  4507  sucoddeven  4511  evenodddisj  4516  oddtfin  4518  sfindbl  4530  sfintfin  4532  peano4  4557  phi11lem1  4595  2nnc  6167  nclenn  6249  nnltp1c  6262  nmembers1lem3  6270  nncdiv3  6277  nnc3n3p1  6278  nnc3n3p2  6279  nnc3p1n3p2  6280  nchoicelem1  6289  nchoicelem2  6290  nchoicelem12  6300  nchoicelem17  6305  frecxp  6314  frecsuc  6322
 Copyright terms: Public domain W3C validator