Theorem pod 5936

Description: A reflexive, transitive, and anti-symmetric ordering is a partial ordering. (Contributed by SF, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pod.1	⊢ (φ → R ∈ V)
pod.2	⊢ (φ → A ∈ W)
pod.3	⊢ ((φ ∧ x ∈ A) → xRx)
pod.4	⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRz)) → xRz)
pod.5	⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRx)) → x = y)

Assertion

Ref	Expression
pod	⊢ (φ → R Po A)

Distinct variable groups:   x,A,y,z   φ,x,y,z   x,R,y,z

Allowed substitution hints:   V(x,y,z)   W(x,y,z)

Proof of Theorem pod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pod.1	. . 3 ⊢ (φ → R ∈ V)
2		pod.2	. . 3 ⊢ (φ → A ∈ W)
3		pod.3	. . 3 ⊢ ((φ ∧ x ∈ A) → xRx)
4	1, 2, 3	refrd 5926	. 2 ⊢ (φ → R Ref A)
5		pod.4	. . 3 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRz)) → xRz)
6	1, 2, 5	trrd 5925	. 2 ⊢ (φ → R Trans A)
7		pod.5	. . 3 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRx)) → x = y)
8	1, 2, 7	antird 5928	. 2 ⊢ (φ → R Antisym A)
9		porta 5933	. 2 ⊢ (R Po A ↔ (R Ref A ∧ R Trans A ∧ R Antisym A))
10	4, 6, 8, 9	syl3anbrc 1136	1 ⊢ (φ → R Po A)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ∈ wcel 1710   class class class wbr 4639   Trans ctrans 5888   Ref cref 5889   Antisym cantisym 5890   Po cpartial 5891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-trans 5899  df-ref 5900  df-antisym 5901  df-partial 5902

This theorem is referenced by:  sod  5937  po0  5939  ssetpov  5944  lecponc  6213