New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  sod GIF version

Theorem sod 5937
 Description: A reflexive, transitive, antisymmetric, and connected relationship is a strict ordering. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sod.1 (φR V)
sod.2 (φA W)
sod.3 ((φ x A) → xRx)
sod.4 ((φ (x A y A z A) (xRy yRz)) → xRz)
sod.5 ((φ (x A y A) (xRy yRx)) → x = y)
sod.6 ((φ x A y A) → (xRy yRx))
Assertion
Ref Expression
sod (φR Or A)
Distinct variable groups:   x,A,y   φ,x,y   x,R,y   z,A   φ,z   z,R,x,y
Allowed substitution hints:   V(x,y,z)   W(x,y,z)

Proof of Theorem sod
StepHypRef Expression
1 sod.1 . . 3 (φR V)
2 sod.2 . . 3 (φA W)
3 sod.3 . . 3 ((φ x A) → xRx)
4 sod.4 . . 3 ((φ (x A y A z A) (xRy yRz)) → xRz)
5 sod.5 . . 3 ((φ (x A y A) (xRy yRx)) → x = y)
61, 2, 3, 4, 5pod 5936 . 2 (φR Po A)
7 sod.6 . . 3 ((φ x A y A) → (xRy yRx))
81, 2, 7connexrd 5930 . 2 (φR Connex A)
9 sopc 5934 . 2 (R Or A ↔ (R Po A R Connex A))
106, 8, 9sylanbrc 645 1 (φR Or A)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 357   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ∈ wcel 1710   class class class wbr 4639   Po cpartial 5891   Connex cconnex 5892   Or cstrict 5893 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-trans 5899  df-ref 5900  df-antisym 5901  df-partial 5902  df-connex 5903  df-strict 5904 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator