Theorem sod 5938

Description: A reflexive, transitive, antisymmetric, and connected relationship is a strict ordering. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sod.1	⊢ (φ → R ∈ V)
sod.2	⊢ (φ → A ∈ W)
sod.3	⊢ ((φ ∧ x ∈ A) → xRx)
sod.4	⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRz)) → xRz)
sod.5	⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRx)) → x = y)
sod.6	⊢ ((φ ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A) → (xRy ∨ yRx))

Assertion

Ref	Expression
sod	⊢ (φ → R Or A)

Distinct variable groups:   x,A,y   φ,x,y   x,R,y   z,A   φ,z   z,R,x,y

Allowed substitution hints:   V(x,y,z)   W(x,y,z)

Proof of Theorem sod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sod.1	. . 3 ⊢ (φ → R ∈ V)
2		sod.2	. . 3 ⊢ (φ → A ∈ W)
3		sod.3	. . 3 ⊢ ((φ ∧ x ∈ A) → xRx)
4		sod.4	. . 3 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRz)) → xRz)
5		sod.5	. . 3 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A) ∧ (xRy ∧ yRx)) → x = y)
6	1, 2, 3, 4, 5	pod 5937	. 2 ⊢ (φ → R Po A)
7		sod.6	. . 3 ⊢ ((φ ∧ x ∈ A ∧ y ∈ A) → (xRy ∨ yRx))
8	1, 2, 7	connexrd 5931	. 2 ⊢ (φ → R Connex A)
9		sopc 5935	. 2 ⊢ (R Or A ↔ (R Po A ∧ R Connex A))
10	6, 8, 9	sylanbrc 645	1 ⊢ (φ → R Or A)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 357   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ∈ wcel 1710   class class class wbr 4640   Po cpartial 5892   Connex cconnex 5893   Or cstrict 5894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-trans 5900  df-ref 5901  df-antisym 5902  df-partial 5903  df-connex 5904  df-strict 5905

This theorem is referenced by: (None)