New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  trrd GIF version

Theorem trrd 5925
 Description: Deduce transitivity from its properties. (Contributed by SF, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
trrd.1 (φR V)
trrd.2 (φA W)
trrd.3 ((φ (x A y A z A) (xRy yRz)) → xRz)
Assertion
Ref Expression
trrd (φR Trans A)
Distinct variable groups:   x,A,y,z   φ,x,y,z   x,R,y,z
Allowed substitution hints:   V(x,y,z)   W(x,y,z)

Proof of Theorem trrd
Dummy variables a r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 936 . . . . . 6 ((x A y A z A) ↔ ((x A y A) z A))
2 trrd.3 . . . . . . 7 ((φ (x A y A z A) (xRy yRz)) → xRz)
323exp 1150 . . . . . 6 (φ → ((x A y A z A) → ((xRy yRz) → xRz)))
41, 3syl5bir 209 . . . . 5 (φ → (((x A y A) z A) → ((xRy yRz) → xRz)))
54exp3a 425 . . . 4 (φ → ((x A y A) → (z A → ((xRy yRz) → xRz))))
65ralrimdv 2703 . . 3 (φ → ((x A y A) → z A ((xRy yRz) → xRz)))
76ralrimivv 2705 . 2 (φx A y A z A ((xRy yRz) → xRz))
8 trrd.1 . . 3 (φR V)
9 trrd.2 . . 3 (φA W)
10 breq 4641 . . . . . . . 8 (r = R → (xryxRy))
11 breq 4641 . . . . . . . 8 (r = R → (yrzyRz))
1210, 11anbi12d 691 . . . . . . 7 (r = R → ((xry yrz) ↔ (xRy yRz)))
13 breq 4641 . . . . . . 7 (r = R → (xrzxRz))
1412, 13imbi12d 311 . . . . . 6 (r = R → (((xry yrz) → xrz) ↔ ((xRy yRz) → xRz)))
1514ralbidv 2634 . . . . 5 (r = R → (z a ((xry yrz) → xrz) ↔ z a ((xRy yRz) → xRz)))
16152ralbidv 2656 . . . 4 (r = R → (x a y a z a ((xry yrz) → xrz) ↔ x a y a z a ((xRy yRz) → xRz)))
17 raleq 2807 . . . . . 6 (a = A → (z a ((xRy yRz) → xRz) ↔ z A ((xRy yRz) → xRz)))
1817raleqbi1dv 2815 . . . . 5 (a = A → (y a z a ((xRy yRz) → xRz) ↔ y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
1918raleqbi1dv 2815 . . . 4 (a = A → (x a y a z a ((xRy yRz) → xRz) ↔ x A y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
20 df-trans 5899 . . . 4 Trans = {r, a x a y a z a ((xry yrz) → xrz)}
2116, 19, 20brabg 4706 . . 3 ((R V A W) → (R Trans Ax A y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
228, 9, 21syl2anc 642 . 2 (φ → (R Trans Ax A y A z A ((xRy yRz) → xRz)))
237, 22mpbird 223 1 (φR Trans A)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∀wral 2614   class class class wbr 4639   Trans ctrans 5888 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-trans 5899 This theorem is referenced by:  pod  5936  iserd  5942
 Copyright terms: Public domain W3C validator