Theorem ssetpov 5944

Description: The subset relationship partially orders the universe. (Contributed by SF, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssetpov	⊢ S Po V

Proof of Theorem ssetpov

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssetex 4744	. . . 4 ⊢ S ∈ V
2	1	a1i 10	. . 3 ⊢ ( ⊤ → S ∈ V)
3		vvex 4109	. . . 4 ⊢ V ∈ V
4	3	a1i 10	. . 3 ⊢ ( ⊤ → V ∈ V)
5		ssid 3290	. . . . 5 ⊢ x ⊆ x
6		vex 2862	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
7	6, 6	brsset 4758	. . . . 5 ⊢ (x S x ↔ x ⊆ x)
8	5, 7	mpbir 200	. . . 4 ⊢ x S x
9	8	a1i 10	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ x ∈ V) → x S x)
10		sstr 3280	. . . . 5 ⊢ ((x ⊆ y ∧ y ⊆ z) → x ⊆ z)
11		vex 2862	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
12	6, 11	brsset 4758	. . . . . 6 ⊢ (x S y ↔ x ⊆ y)
13		vex 2862	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
14	11, 13	brsset 4758	. . . . . 6 ⊢ (y S z ↔ y ⊆ z)
15	12, 14	anbi12i 678	. . . . 5 ⊢ ((x S y ∧ y S z) ↔ (x ⊆ y ∧ y ⊆ z))
16	6, 13	brsset 4758	. . . . 5 ⊢ (x S z ↔ x ⊆ z)
17	10, 15, 16	3imtr4i 257	. . . 4 ⊢ ((x S y ∧ y S z) → x S z)
18	17	3ad2ant3 978	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ (x ∈ V ∧ y ∈ V ∧ z ∈ V) ∧ (x S y ∧ y S z)) → x S z)
19		eqss 3287	. . . . . 6 ⊢ (x = y ↔ (x ⊆ y ∧ y ⊆ x))
20	11, 6	brsset 4758	. . . . . . 7 ⊢ (y S x ↔ y ⊆ x)
21	12, 20	anbi12i 678	. . . . . 6 ⊢ ((x S y ∧ y S x) ↔ (x ⊆ y ∧ y ⊆ x))
22	19, 21	bitr4i 243	. . . . 5 ⊢ (x = y ↔ (x S y ∧ y S x))
23	22	biimpri 197	. . . 4 ⊢ ((x S y ∧ y S x) → x = y)
24	23	3ad2ant3 978	. . 3 ⊢ (( ⊤ ∧ (x ∈ V ∧ y ∈ V) ∧ (x S y ∧ y S x)) → x = y)
25	2, 4, 9, 18, 24	pod 5936	. 2 ⊢ ( ⊤ → S Po V)
26	25	trud 1323	1 ⊢ S Po V

Syntax hints:   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   ⊤ wtru 1316   ∈ wcel 1710  Vcvv 2859   ⊆ wss 3257   class class class wbr 4639   S csset 4719   Po cpartial 5891

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-sset 4725  df-trans 5899  df-ref 5900  df-antisym 5901  df-partial 5902

This theorem is referenced by: (None)