NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  rexxpf GIF version

Theorem rexxpf 4828
Description: Version of rexxp 4826 with bound-variable hypotheses. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ralxpf.1 yφ
ralxpf.2 zφ
ralxpf.3 xψ
ralxpf.4 (x = y, z → (φψ))
Assertion
Ref Expression
rexxpf (x (A × B)φy A z B ψ)
Distinct variable groups:   x,y,A   x,z,B,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   ψ(x,y,z)   A(z)

Proof of Theorem rexxpf
StepHypRef Expression
1 ralxpf.1 . . . . 5 yφ
21nfn 1793 . . . 4 y ¬ φ
3 ralxpf.2 . . . . 5 zφ
43nfn 1793 . . . 4 z ¬ φ
5 ralxpf.3 . . . . 5 xψ
65nfn 1793 . . . 4 x ¬ ψ
7 ralxpf.4 . . . . 5 (x = y, z → (φψ))
8 notbi 286 . . . . 5 ((φψ) ↔ (¬ φ ↔ ¬ ψ))
97, 8sylib 188 . . . 4 (x = y, z → (¬ φ ↔ ¬ ψ))
102, 4, 6, 9ralxpf 4827 . . 3 (x (A × B) ¬ φy A z B ¬ ψ)
1110notbii 287 . 2 x (A × B) ¬ φ ↔ ¬ y A z B ¬ ψ)
12 dfrex2 2627 . 2 (x (A × B)φ ↔ ¬ x (A × B) ¬ φ)
13 dfrex2 2627 . . . 4 (z B ψ ↔ ¬ z B ¬ ψ)
1413rexbii 2639 . . 3 (y A z B ψy A ¬ z B ¬ ψ)
15 rexnal 2625 . . 3 (y A ¬ z B ¬ ψ ↔ ¬ y A z B ¬ ψ)
1614, 15bitri 240 . 2 (y A z B ψ ↔ ¬ y A z B ¬ ψ)
1711, 12, 163bitr4i 268 1 (x (A × B)φy A z B ψ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 176  wnf 1544   = wceq 1642  wral 2614  wrex 2615  cop 4561   × cxp 4770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784
This theorem is referenced by:  iunxpf  4829
  Copyright terms: Public domain W3C validator