Theorem xpexr2 5110

Description: If a nonempty cross product is a set, so are both of its components. (Contributed by set.mm contributors, 27-Aug-2006.) (Revised by set.mm contributors, 5-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xpexr2	⊢ (((A × B) ∈ C ∧ (A × B) ≠ ∅) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))

Proof of Theorem xpexr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpnz 5045	. 2 ⊢ ((A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅) ↔ (A × B) ≠ ∅)
2		dmxp 4923	. . . . . 6 ⊢ (B ≠ ∅ → dom (A × B) = A)
3	2	adantl 452	. . . . 5 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ B ≠ ∅) → dom (A × B) = A)
4		dmexg 5105	. . . . . 6 ⊢ ((A × B) ∈ C → dom (A × B) ∈ V)
5	4	adantr 451	. . . . 5 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ B ≠ ∅) → dom (A × B) ∈ V)
6	3, 5	eqeltrrd 2428	. . . 4 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ B ≠ ∅) → A ∈ V)
7		rnxp 5051	. . . . . 6 ⊢ (A ≠ ∅ → ran (A × B) = B)
8	7	adantl 452	. . . . 5 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ A ≠ ∅) → ran (A × B) = B)
9		rnexg 5104	. . . . . 6 ⊢ ((A × B) ∈ C → ran (A × B) ∈ V)
10	9	adantr 451	. . . . 5 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ A ≠ ∅) → ran (A × B) ∈ V)
11	8, 10	eqeltrrd 2428	. . . 4 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ A ≠ ∅) → B ∈ V)
12	6, 11	anim12dan 810	. . 3 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ (B ≠ ∅ ∧ A ≠ ∅)) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
13	12	ancom2s 777	. 2 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ (A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅)) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
14	1, 13	sylan2br 462	1 ⊢ (((A × B) ∈ C ∧ (A × B) ≠ ∅) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859  ∅c0 3550   × cxp 4770  dom cdm 4772  ran crn 4773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-swap 4724  df-ima 4727  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787

This theorem is referenced by: (None)