ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0lt1sr GIF version

Theorem 0lt1sr 7585
Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
0lt1sr 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr
StepHypRef Expression
1 1pr 7374 . . . . . 6 1PP
2 addclpr 7357 . . . . . 6 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
31, 1, 2mp2an 422 . . . . 5 (1P +P 1P) ∈ P
4 ltaddpr 7417 . . . . 5 (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1PP) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
53, 1, 4mp2an 422 . . . 4 (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6 addcomprg 7398 . . . . 5 ((1PP ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P))
71, 3, 6mp2an 422 . . . 4 (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
85, 7breqtrri 3955 . . 3 (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
9 ltsrprg 7567 . . . 4 (((1PP ∧ 1PP) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1PP)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))))
101, 1, 3, 1, 9mp4an 423 . . 3 ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
118, 10mpbir 145 . 2 [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12 df-0r 7551 . 2 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
13 df-1r 7552 . 2 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
1411, 12, 133brtr4i 3958 1 0R <R 1R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  [cec 6427  Pcnp 7111  1Pc1p 7112   +P cpp 7113  <P cltp 7115   ~R cer 7116  0Rc0r 7118  1Rc1r 7119   <R cltr 7123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-iltp 7290  df-enr 7546  df-nr 7547  df-ltr 7550  df-0r 7551  df-1r 7552
This theorem is referenced by:  1ne0sr  7586  ltadd1sr  7596  caucvgsrlemcl  7609  caucvgsrlemfv  7611  suplocsrlempr  7627  ax0lt1  7696
  Copyright terms: Public domain W3C validator