Theorem 0lt1sr 7975

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7764	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7747	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 7807	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcomprg 7788	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P))
7	1, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
8	5, 7	breqtrri 4113	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
9		ltsrprg 7957	. . . 4 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))))
10	1, 1, 3, 1, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
11	8, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12		df-0r 7941	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
13		df-1r 7942	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
14	11, 12, 13	3brtr4i 4116	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  [cec 6695  Pcnp 7501  1_Pc1p 7502   +_P cpp 7503  <_P cltp 7505   ~_R cer 7506  0_Rc0r 7508  1_Rc1r 7509   <_R cltr 7513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-i1p 7677  df-iplp 7678  df-iltp 7680  df-enr 7936  df-nr 7937  df-ltr 7940  df-0r 7941  df-1r 7942

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7976  ltadd1sr  7986  caucvgsrlemcl  7999  caucvgsrlemfv  8001  suplocsrlempr  8017  ax0lt1  8086