Theorem 0lt1sr 7963

Description: 0 is less than 1 for signed reals. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1sr	⊢ 0R <R 1R

Proof of Theorem 0lt1sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7752	. . . . . 6 ⊢ 1P ∈ P
2		addclpr 7735	. . . . . 6 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
3	1, 1, 2	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
4		ltaddpr 7795	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P))
5	3, 1, 4	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 1P)
6		addcomprg 7776	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ (1P +P 1P) ∈ P) → (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P))
7	1, 3, 6	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (1P +P (1P +P 1P)) = ((1P +P 1P) +P 1P)
8	5, 7	breqtrri 4110	. . 3 ⊢ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))
9		ltsrprg 7945	. . . 4 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P))))
10	1, 1, 3, 1, 9	mp4an 427	. . 3 ⊢ ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P (1P +P (1P +P 1P)))
11	8, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
12		df-0r 7929	. 2 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
13		df-1r 7930	. 2 ⊢ 1R = [⟨(1P +P 1P), 1P⟩] ~R
14	11, 12, 13	3brtr4i 4113	1 ⊢ 0R <R 1R

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  [cec 6686  Pcnp 7489  1_Pc1p 7490   +_P cpp 7491  <_P cltp 7493   ~_R cer 7494  0_Rc0r 7496  1_Rc1r 7497   <_R cltr 7501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551  df-enq0 7622  df-nq0 7623  df-0nq0 7624  df-plq0 7625  df-mq0 7626  df-inp 7664  df-i1p 7665  df-iplp 7666  df-iltp 7668  df-enr 7924  df-nr 7925  df-ltr 7928  df-0r 7929  df-1r 7930

This theorem is referenced by:  1ne0sr  7964  ltadd1sr  7974  caucvgsrlemcl  7987  caucvgsrlemfv  7989  suplocsrlempr  8005  ax0lt1  8074