Theorem 1unit 14524

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
1unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unit.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 14433	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	1, 4	dvdsrid 14517	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
6	3, 5	mpdan 425	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
7		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8	7	opprring 14494	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
9	7, 1	opprbasg 14490	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
10	3, 9	eleqtrd 2317	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
11		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13	11, 12	dvdsrid 14517	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))) → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
14	8, 10, 13	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
15		unit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘𝑅))
18		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
19		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
20		eqidd 2239	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
21		ringsrg 14460	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
22	16, 17, 18, 19, 20, 21	isunitd 14523	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ 𝑈 ↔ ( 1 (∥r‘𝑅) 1 ∧ 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )))
23	6, 14, 22	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  Basecbs 13411  1_rcur 14370  Ringcrg 14408  opp_rcoppr 14482  ∥_rcdsr 14502  Unitcui 14503

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-tpos 6520  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-0g 13672  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-grp 13868  df-minusg 13869  df-cmn 14180  df-abl 14181  df-mgp 14326  df-ur 14371  df-srg 14376  df-ring 14410  df-oppr 14483  df-dvdsr 14505  df-unit 14506

This theorem is used by:  unitgrp  14533  unitgrpid  14535  unitsubm  14536  1rinv  14545  0unit  14546  dvr1  14555  subrgugrp  14658  aprnzr  14709  aprlring  14710  psrlidmfi  15204