Theorem 1unit 14250

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
1unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unit.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 14162	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	1, 4	dvdsrid 14243	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
6	3, 5	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
7		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8	7	opprring 14221	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
9	7, 1	opprbasg 14217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
10	3, 9	eleqtrd 2311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
11		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13	11, 12	dvdsrid 14243	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))) → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
14	8, 10, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
15		unit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘𝑅))
18		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
19		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
20		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
21		ringsrg 14189	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
22	16, 17, 18, 19, 20, 21	isunitd 14249	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ 𝑈 ↔ ( 1 (∥r‘𝑅) 1 ∧ 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )))
23	6, 14, 22	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  Basecbs 13210  1_rcur 14101  Ringcrg 14138  opp_rcoppr 14209  ∥_rcdsr 14228  Unitcui 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-tpos 6476  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13213  df-slot 13214  df-base 13216  df-sets 13217  df-plusg 13301  df-mulr 13302  df-0g 13469  df-mgm 13567  df-sgrp 13613  df-mnd 13628  df-grp 13714  df-minusg 13715  df-cmn 14001  df-abl 14002  df-mgp 14063  df-ur 14102  df-srg 14106  df-ring 14140  df-oppr 14210  df-dvdsr 14231  df-unit 14232

This theorem is referenced by:  unitgrp  14259  unitgrpid  14261  unitsubm  14262  1rinv  14271  0unit  14272  dvr1  14281  subrgugrp  14383  aprnzr  14431  aprlring  14432