Theorem 1unit 14244

Description: The multiplicative identity is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unit.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
1unit	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem 1unit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		unit.2	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 14156	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
5	1, 4	dvdsrid 14237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
6	3, 5	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘𝑅) 1 )
7		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
8	7	opprring 14215	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
9	7, 1	opprbasg 14211	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
10	3, 9	eleqtrd 2311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
11		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
12		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
13	11, 12	dvdsrid 14237	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 1 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅))) → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
14	8, 10, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )
15		unit.1	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
17	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (1r‘𝑅))
18		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
19		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
20		eqidd 2233	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
21		ringsrg 14183	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
22	16, 17, 18, 19, 20, 21	isunitd 14243	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 ∈ 𝑈 ↔ ( 1 (∥r‘𝑅) 1 ∧ 1 (∥r‘(oppr‘𝑅)) 1 )))
23	6, 14, 22	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  Basecbs 13204  1_rcur 14095  Ringcrg 14132  opp_rcoppr 14203  ∥_rcdsr 14222  Unitcui 14223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-tpos 6475  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-srg 14100  df-ring 14134  df-oppr 14204  df-dvdsr 14225  df-unit 14226

This theorem is referenced by:  unitgrp  14253  unitgrpid  14255  unitsubm  14256  1rinv  14265  0unit  14266  dvr1  14275  subrgugrp  14377  aprnzr  14425  aprlring  14426