Theorem 2idlcpbl 14020

Description: The coset equivalence relation for a two-sided ideal is compatible with ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 31-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlcpblrng.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2idlcpblrng.r	⊢ 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
2idlcpblrng.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
2idlcpblrng.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlcpbl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Proof of Theorem 2idlcpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringrng 13532	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Rng)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
4		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
7		2idlcpblrng.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
8	4, 5, 6, 7	2idlelb 14001	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
9	8	simplbi 274	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10	4	lidlsubg 13982	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	9, 10	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		2idlcpblrng.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
13		2idlcpblrng.r	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑅 ~QG 𝑆)
14		2idlcpblrng.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
15	12, 13, 7, 14	2idlcpblrng 14019	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))
16	2, 3, 11, 15	syl3anc 1249	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝐴𝐸𝐶 ∧ 𝐵𝐸𝐷) → (𝐴 · 𝐵)𝐸(𝐶 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  ._rcmulr 12696  SubGrpcsubg 13237   ~_QG cqg 13239  Rngcrng 13428  Ringcrg 13492  opp_rcoppr 13563  LIdealclidl 13963  2Idealc2idl 13995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-er 6587  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-subg 13240  df-eqg 13242  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-subrg 13715  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-2idl 13996

This theorem is referenced by:  qus1  14022  qusrhm  14024  qusmul2  14025