Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Unicode version

 Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 7780. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7680 . . 3
2 elreal 7680 . . 3
3 elreal 7680 . . 3
4 breq1 3941 . . . 4
5 oveq2 5791 . . . . 5
65breq1d 3948 . . . 4
74, 6bibi12d 234 . . 3
8 breq2 3942 . . . 4
9 oveq2 5791 . . . . 5
109breq2d 3950 . . . 4
118, 10bibi12d 234 . . 3
12 oveq1 5790 . . . . 5
13 oveq1 5790 . . . . 5
1412, 13breq12d 3951 . . . 4
1514bibi2d 231 . . 3
16 ltasrg 7622 . . . 4
17 ltresr 7691 . . . . 5
1817a1i 9 . . . 4
19 simp3 984 . . . . . 6
20 simp1 982 . . . . . 6
21 simp2 983 . . . . . 6
22 addresr 7689 . . . . . . 7
23 addresr 7689 . . . . . . 7
2422, 23breqan12d 3954 . . . . . 6
2519, 20, 19, 21, 24syl22anc 1218 . . . . 5
26 ltresr 7691 . . . . 5
2725, 26syl6bb 195 . . . 4
2816, 18, 273bitr4d 219 . . 3
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 2724 . 2
3029biimpd 143 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  cop 3536   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  cnr 7149  c0r 7150   cplr 7153   cltr 7155  cr 7663   caddc 7667   cltrr 7668 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-eprel 4220  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-1o 6322  df-2o 6323  df-oadd 6326  df-omul 6327  df-er 6438  df-ec 6440  df-qs 6444  df-ni 7156  df-pli 7157  df-mi 7158  df-lti 7159  df-plpq 7196  df-mpq 7197  df-enq 7199  df-nqqs 7200  df-plqqs 7201  df-mqqs 7202  df-1nqqs 7203  df-rq 7204  df-ltnqqs 7205  df-enq0 7276  df-nq0 7277  df-0nq0 7278  df-plq0 7279  df-mq0 7280  df-inp 7318  df-i1p 7319  df-iplp 7320  df-iltp 7322  df-enr 7578  df-nr 7579  df-plr 7580  df-ltr 7582  df-0r 7583  df-c 7670  df-r 7674  df-add 7675  df-lt 7677 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator