Theorem axpre-ltadd 7916

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 7958. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7858	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7858	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7858	. . 3 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4021	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		oveq2 5905	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + A ) )
6	5	breq1d 4028	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	bibi12d 235	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4022	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		oveq2 5905	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + B ) )
10	9	breq2d 4030	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) )
11	8, 10	bibi12d 235	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) ) )
12		oveq1 5904	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + A ) = ( C + A ) )
13		oveq1 5904	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + B ) = ( C + B ) )
14	12, 13	breq12d 4031	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
15	14	bibi2d 232	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) <-> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) ) )
16		ltasrg 7800	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
17		ltresr 7869	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y ) )
19		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> z e. R. )
20		simp1 999	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> x e. R. )
21		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> y e. R. )
22		addresr 7867	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = <. ( z +R x ) , 0R >. )
23		addresr 7867	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( z +R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breqan12d 4034	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. R. /\ x e. R. ) /\ ( z e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
25	19, 20, 19, 21, 24	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
26		ltresr 7869	. . . . 5 |- ( <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) )
27	25, 26	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
28	16, 18, 27	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
29	1, 2, 3, 7, 11, 15, 28	3gencl 2786	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
30	29	biimpd 144	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   R.cnr 7327   0Rc0r 7328   +R cplr 7331   <R cltr 7333   RRcr 7841   + caddc 7845   <RR cltrr 7846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-2o 6443  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-0nq0 7456  df-plq0 7457  df-mq0 7458  df-inp 7496  df-i1p 7497  df-iplp 7498  df-iltp 7500  df-enr 7756  df-nr 7757  df-plr 7758  df-ltr 7760  df-0r 7761  df-c 7848  df-r 7852  df-add 7853  df-lt 7855

This theorem is referenced by: (None)