Theorem axpre-ltadd 8243

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 8285. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8185	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 8185	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 8185	. . 3 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4128	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		oveq2 6083	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + A ) )
6	5	breq1d 4135	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	bibi12d 235	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4129	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		oveq2 6083	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + B ) )
10	9	breq2d 4137	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) )
11	8, 10	bibi12d 235	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) ) )
12		oveq1 6082	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + A ) = ( C + A ) )
13		oveq1 6082	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + B ) = ( C + B ) )
14	12, 13	breq12d 4138	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
15	14	bibi2d 232	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) <-> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) ) )
16		ltasrg 8127	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
17		ltresr 8196	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y ) )
19		simp3 1030	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> z e. R. )
20		simp1 1028	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> x e. R. )
21		simp2 1029	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> y e. R. )
22		addresr 8194	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = <. ( z +R x ) , 0R >. )
23		addresr 8194	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( z +R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breqan12d 4141	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. R. /\ x e. R. ) /\ ( z e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
25	19, 20, 19, 21, 24	syl22anc 1279	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
26		ltresr 8196	. . . . 5 |- ( <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) )
27	25, 26	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
28	16, 18, 27	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
29	1, 2, 3, 7, 11, 15, 28	3gencl 2856	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
30	29	biimpd 144	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   R.cnr 7654   0Rc0r 7655   +R cplr 7658   <R cltr 7660   RRcr 8168   + caddc 8172   <RR cltrr 8173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-iltp 7827  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-ltr 8087  df-0r 8088  df-c 8175  df-r 8179  df-add 8180  df-lt 8182

This theorem is referenced by: (None)