Theorem axpre-ltadd 7946

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 7988. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7888	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7888	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7888	. . 3 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4032	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + A ) )
6	5	breq1d 4039	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	bibi12d 235	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 4033	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + B ) )
10	9	breq2d 4041	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) )
11	8, 10	bibi12d 235	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) ) )
12		oveq1 5925	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + A ) = ( C + A ) )
13		oveq1 5925	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + B ) = ( C + B ) )
14	12, 13	breq12d 4042	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
15	14	bibi2d 232	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) <-> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) ) )
16		ltasrg 7830	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
17		ltresr 7899	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y ) )
19		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> z e. R. )
20		simp1 999	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> x e. R. )
21		simp2 1000	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> y e. R. )
22		addresr 7897	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = <. ( z +R x ) , 0R >. )
23		addresr 7897	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( z +R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breqan12d 4045	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. R. /\ x e. R. ) /\ ( z e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
25	19, 20, 19, 21, 24	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
26		ltresr 7899	. . . . 5 |- ( <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) )
27	25, 26	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
28	16, 18, 27	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
29	1, 2, 3, 7, 11, 15, 28	3gencl 2794	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
30	29	biimpd 144	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3621   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   R.cnr 7357   0Rc0r 7358   +R cplr 7361   <R cltr 7363   RRcr 7871   + caddc 7875   <RR cltrr 7876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-c 7878  df-r 7882  df-add 7883  df-lt 7885

This theorem is referenced by: (None)