Theorem axpre-ltadd 7827

Description: Ordering property of addition on reals. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 7869. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltadd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7769	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7769	. . 3 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7769	. . 3 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 3985	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + A ) )
6	5	breq1d 3992	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
7	4, 6	bibi12d 234	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) ) )
8		breq2 3986	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		oveq2 5850	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = ( <. z , 0R >. + B ) )
10	9	breq2d 3994	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) )
11	8, 10	bibi12d 234	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) <-> ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) ) )
12		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + A ) = ( C + A ) )
13		oveq1 5849	. . . . 5 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( <. z , 0R >. + B ) = ( C + B ) )
14	12, 13	breq12d 3995	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
15	14	bibi2d 231	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B <-> ( <. z , 0R >. + A ) <RR ( <. z , 0R >. + B ) ) <-> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) ) )
16		ltasrg 7711	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( x <R y <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
17		ltresr 7780	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y ) )
19		simp3 989	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> z e. R. )
20		simp1 987	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> x e. R. )
21		simp2 988	. . . . . 6 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> y e. R. )
22		addresr 7778	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ x e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) = <. ( z +R x ) , 0R >. )
23		addresr 7778	. . . . . . 7 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) = <. ( z +R y ) , 0R >. )
24	22, 23	breqan12d 3998	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. R. /\ x e. R. ) /\ ( z e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
25	19, 20, 19, 21, 24	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. ) )
26		ltresr 7780	. . . . 5 |- ( <. ( z +R x ) , 0R >. <RR <. ( z +R y ) , 0R >. <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) )
27	25, 26	bitrdi 195	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) <-> ( z +R x ) <R ( z +R y ) ) )
28	16, 18, 27	3bitr4d 219	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> ( <. z , 0R >. + <. x , 0R >. ) <RR ( <. z , 0R >. + <. y , 0R >. ) ) )
29	1, 2, 3, 7, 11, 15, 28	3gencl 2760	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B <-> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )
30	29	biimpd 143	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( A <RR B -> ( C + A ) <RR ( C + B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   +R cplr 7242   <R cltr 7244   RRcr 7752   + caddc 7756   <RR cltrr 7757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-c 7759  df-r 7763  df-add 7764  df-lt 7766

This theorem is referenced by: (None)