Theorem axmulrcl 7913

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 7957 be used later. Instead, in most cases use remulcl 7986. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )

Proof of Theorem axmulrcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7874	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7874	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		oveq1 5913	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = ( A x. <. y , 0R >. ) )
4	3	eleq1d 2258	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A x. <. y , 0R >. ) e. RR ) )
5		oveq2 5914	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A x. <. y , 0R >. ) = ( A x. B ) )
6	5	eleq1d 2258	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A x. B ) e. RR ) )
7		mulresr 7884	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = <. ( x .R y ) , 0R >. )
8		mulclsr 7800	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x .R y ) e. R. )
9		opelreal 7873	. . . 4 |- ( <. ( x .R y ) , 0R >. e. RR <-> ( x .R y ) e. R. )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x .R y ) , 0R >. e. RR )
11	7, 10	eqeltrd 2266	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) e. RR )
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2789	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3617  (class class class)co 5906   R.cnr 7343   0Rc0r 7344   .R cmr 7348   RRcr 7857   x. cmul 7863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-eprel 4314  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-irdg 6410  df-1o 6456  df-2o 6457  df-oadd 6460  df-omul 6461  df-er 6574  df-ec 6576  df-qs 6580  df-ni 7350  df-pli 7351  df-mi 7352  df-lti 7353  df-plpq 7390  df-mpq 7391  df-enq 7393  df-nqqs 7394  df-plqqs 7395  df-mqqs 7396  df-1nqqs 7397  df-rq 7398  df-ltnqqs 7399  df-enq0 7470  df-nq0 7471  df-0nq0 7472  df-plq0 7473  df-mq0 7474  df-inp 7512  df-i1p 7513  df-iplp 7514  df-imp 7515  df-enr 7772  df-nr 7773  df-plr 7774  df-mr 7775  df-0r 7777  df-m1r 7779  df-c 7864  df-r 7868  df-mul 7870

This theorem is referenced by: (None)