Theorem axmulrcl 8240

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 8284 be used later. Instead, in most cases use remulcl 8313. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )

Proof of Theorem axmulrcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8201	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 8201	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		oveq1 6095	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = ( A x. <. y , 0R >. ) )
4	3	eleq1d 2307	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A x. <. y , 0R >. ) e. RR ) )
5		oveq2 6096	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A x. <. y , 0R >. ) = ( A x. B ) )
6	5	eleq1d 2307	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A x. <. y , 0R >. ) e. RR <-> ( A x. B ) e. RR ) )
7		mulresr 8211	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) = <. ( x .R y ) , 0R >. )
8		mulclsr 8127	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( x .R y ) e. R. )
9		opelreal 8200	. . . 4 |- ( <. ( x .R y ) , 0R >. e. RR <-> ( x .R y ) e. R. )
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> <. ( x .R y ) , 0R >. e. RR )
11	7, 10	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. ) -> ( <. x , 0R >. x. <. y , 0R >. ) e. RR )
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2855	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712  (class class class)co 6088   R.cnr 7670   0Rc0r 7671   .R cmr 7675   RRcr 8184   x. cmul 8190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-imp 7842  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-mr 8102  df-0r 8104  df-m1r 8106  df-c 8191  df-r 8195  df-mul 8197

This theorem is used by: (None)