Theorem axmulrcl 8062

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 8106 be used later. Instead, in most cases use remulcl 8135. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axmulrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		elreal 8023	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ R ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3		oveq1 6014	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩))
4	3	eleq1d 2298	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		oveq2 6015	. . 3 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · 𝐵))
6	5	eleq1d 2298	. 2 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
7		mulresr 8033	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩)
8		mulclsr 7949	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑦) ∈ R)
9		opelreal 8022	. . . 4 ⊢ (⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝑥 ·R 𝑦) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2833	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669  (class class class)co 6007  Rcnr 7492  0_Rc0r 7493   ·_R cmr 7497  ℝcr 8006   · cmul 8012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-pli 7500  df-mi 7501  df-lti 7502  df-plpq 7539  df-mpq 7540  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-plqqs 7544  df-mqqs 7545  df-1nqqs 7546  df-rq 7547  df-ltnqqs 7548  df-enq0 7619  df-nq0 7620  df-0nq0 7621  df-plq0 7622  df-mq0 7623  df-inp 7661  df-i1p 7662  df-iplp 7663  df-imp 7664  df-enr 7921  df-nr 7922  df-plr 7923  df-mr 7924  df-0r 7926  df-m1r 7928  df-c 8013  df-r 8017  df-mul 8019

This theorem is referenced by: (None)