Theorem axmulrcl 7501

Description: Closure law for multiplication in the real subfield of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulrcl 7541 be used later. Instead, in most cases use remulcl 7567. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 31-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
axmulrcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axmulrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		elreal 7463	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ R ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3		oveq1 5697	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩))
4	3	eleq1d 2163	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		oveq2 5698	. . 3 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 · 𝐵))
6	5	eleq1d 2163	. 2 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((𝐴 · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ))
7		mulresr 7472	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩)
8		mulclsr 7397	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑦) ∈ R)
9		opelreal 7462	. . . 4 ⊢ (⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝑥 ·R 𝑦) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → ⟨(𝑥 ·R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 2171	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 2666	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ⟨cop 3469  (class class class)co 5690  Rcnr 6953  0_Rc0r 6954   ·_R cmr 6958  ℝcr 7446   · cmul 7452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-enq0 7080  df-nq0 7081  df-0nq0 7082  df-plq0 7083  df-mq0 7084  df-inp 7122  df-i1p 7123  df-iplp 7124  df-imp 7125  df-enr 7369  df-nr 7370  df-plr 7371  df-mr 7372  df-0r 7374  df-m1r 7376  df-c 7453  df-r 7457  df-mul 7459

This theorem is referenced by: (None)