Theorem ballotfilembfi 13183

Description: The set of countings where B got the first vote is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
ballotfilembfi	|- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   E, c

Allowed substitution hints:   P( x, i, c)   E( x, i)   F( x)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . 6 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . . . . 6 |- N e. NN
3		ballotfilem.o	. . . . . 6 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4	1, 2, 3	ballotfilemofi 13163	. . . . 5 |- O e. Fin
5		ballotfilem.p	. . . . . 6 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
6		ballotth.f	. . . . . 6 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
7		ballotth.e	. . . . . 6 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	ballotfilemefi 13181	. . . . 5 |- E e. Fin
9	7	ssrab3 3328	. . . . 5 |- E C_ O
10		diffifi 7164	. . . . 5 |- ( ( O e. Fin /\ E e. Fin /\ E C_ O ) -> ( O \ E ) e. Fin )
11	4, 8, 9, 10	mp3an 1374	. . . 4 |- ( O \ E ) e. Fin
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( O \ E ) e. Fin )
13		eldifi 3345	. . . . . . 7 |- ( c e. ( O \ E ) -> c e. O )
14		1zzd 9621	. . . . . . 7 |- ( c e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
15	1, 2, 3, 13, 14	ballotfilemcdc 13167	. . . . . 6 |- ( c e. ( O \ E ) -> DECID 1 e. c )
16		dcn 850	. . . . . 6 |- (DECID 1 e. c -> DECID -. 1 e. c )
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( c e. ( O \ E ) -> DECID -. 1 e. c )
18	17	rgen 2597	. . . 4 |- A. c e. ( O \ E )DECID -. 1 e. c
19	18	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> A. c e. ( O \ E )DECID -. 1 e. c )
20	12, 19	ssfirab 7210	. 2 |- ( T. -> { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin )
21	20	mptru 1407	1 |- { c e. ( O \ E ) | -. 1 e. c } e. Fin

Syntax hints:   -. wn 3  DECID wdc 842   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   \ cdif 3211   i^i cin 3213   C_ wss 3214   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilem8  13224  ballotfilemth  13225