Theorem ballotfilembfi 13298

Description: The set of countings where B got the first vote is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilembfi	⊢ {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ ¬ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐸,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐸(𝑥, 𝑖)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotfilembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotfilem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4	1, 2, 3	ballotfilemofi 13278	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ Fin
5		ballotfilem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
6		ballotth.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
7		ballotth.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	ballotfilemefi 13296	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Fin
9	7	ssrab3 3334	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝑂
10		diffifi 7203	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐸 ⊆ 𝑂) → (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin)
11	4, 8, 9, 10	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin)
13		eldifi 3351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝑂)
14		1zzd 9683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
15	1, 2, 3, 13, 14	ballotfilemcdc 13282	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → DECID 1 ∈ 𝑐)
16		dcn 854	. . . . . 6 ⊢ (DECID 1 ∈ 𝑐 → DECID ¬ 1 ∈ 𝑐)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → DECID ¬ 1 ∈ 𝑐)
18	17	rgen 2603	. . . 4 ⊢ ∀𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸)DECID ¬ 1 ∈ 𝑐
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸)DECID ¬ 1 ∈ 𝑐)
20	12, 19	ssfirab 7249	. 2 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ ¬ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin)
21	20	mptru 1411	1 ⊢ {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ ¬ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3  DECID wdc 846   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7027  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   < clt 8367   − cmin 8505   / cdiv 9011  ℕcn 9314  ℤcz 9656  ...cfz 10429  ♯chash 11237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-map 6928  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-fz 10430  df-ihash 11238

This theorem is used by:  ballotfilem8  13339  ballotfilemth  13340