Theorem ballotfilembfi 13222

Description: The set of countings where B got the first vote is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
ballotfilembfi	⊢ {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ ¬ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐸,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotfilembfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotfilem.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4	1, 2, 3	ballotfilemofi 13202	. . . . 5 ⊢ 𝑂 ∈ Fin
5		ballotfilem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
6		ballotth.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
7		ballotth.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	ballotfilemefi 13220	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ∈ Fin
9	7	ssrab3 3334	. . . . 5 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝑂
10		diffifi 7192	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐸 ⊆ 𝑂) → (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin)
11	4, 8, 9, 10	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑂 ∖ 𝐸) ∈ Fin)
13		eldifi 3351	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 𝑐 ∈ 𝑂)
14		1zzd 9654	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℤ)
15	1, 2, 3, 13, 14	ballotfilemcdc 13206	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → DECID 1 ∈ 𝑐)
16		dcn 854	. . . . . 6 ⊢ (DECID 1 ∈ 𝑐 → DECID ¬ 1 ∈ 𝑐)
17	15, 16	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → DECID ¬ 1 ∈ 𝑐)
18	17	rgen 2603	. . . 4 ⊢ ∀𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸)DECID ¬ 1 ∈ 𝑐
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ∀𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸)DECID ¬ 1 ∈ 𝑐)
20	12, 19	ssfirab 7238	. 2 ⊢ (⊤ → {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ ¬ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin)
21	20	mptru 1411	1 ⊢ {𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∣ ¬ 1 ∈ 𝑐} ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3  DECID wdc 846   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   − cmin 8491   / cdiv 8996  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-ihash 11198

This theorem is referenced by:  ballotfilem8  13263  ballotfilemth  13264