Theorem ballotfilemefi 13181

Description: E is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemefi	|- E e. Fin

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i

Allowed substitution hints:   P( x, i, c)   E( x, i, c)   F( x)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemefi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.e	. 2 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
2		ballotth.m	. . . . . 6 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . 6 |- N e. NN
4		ballotfilem.o	. . . . . 6 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
5	2, 3, 4	ballotfilemofi 13163	. . . . 5 |- O e. Fin
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> O e. Fin )
7		1z 9620	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
8		nnaddcl 9274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 3, 8	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( M + N ) e. NN
10	9	nnzi 9615	. . . . . . . 8 |- ( M + N ) e. ZZ
11		fzfig 10816	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
12	7, 10, 11	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
13		0z 9605	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
14		ballotfilem.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
15		ballotth.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
16		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> c e. O )
17		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
19	2, 3, 4, 14, 15, 16, 18	ballotfilemfelz 13174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` c ) ` j ) e. ZZ )
20		zdclt 9672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` c ) ` j ) e. ZZ ) -> DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) )
21	13, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) )
22	21	ralrimiva 2617	. . . . . . . 8 |- ( c e. O -> A. j e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) )
23		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( ( F ` c ) ` j ) = ( ( F ` c ) ` i ) )
24	23	breq2d 4126	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( 0 < ( ( F ` c ) ` j ) <-> 0 < ( ( F ` c ) ` i ) ) )
25	24	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> (DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) <-> DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) ) )
26	25	cbvralv 2780	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) <-> A. i e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
27	22, 26	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( c e. O -> A. i e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
28		dcfi 7281	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) ) -> DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
29	12, 27, 28	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( c e. O -> DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
30	29	rgen 2597	. . . . 5 |- A. c e. O DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i )
31	30	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> A. c e. O DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
32	6, 31	ssfirab 7210	. . 3 |- ( T. -> { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } e. Fin )
33	32	mptru 1407	. 2 |- { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } e. Fin
34	1, 33	eqeltri 2307	1 |- E e. Fin

Syntax hints:   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   \ cdif 3211   i^i cin 3213   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-ihash 11164

This theorem is referenced by:  ballotfilemafi  13182  ballotfilembfi  13183  ballotfilemth  13225