Theorem ballotfilemefi 13220

Description: E is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemefi	|- E e. Fin

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i

Allowed substitution hints:   P( x, i, c)   E( x, i, c)   F( x)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemefi

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.e	. 2 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
2		ballotth.m	. . . . . 6 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . 6 |- N e. NN
4		ballotfilem.o	. . . . . 6 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
5	2, 3, 4	ballotfilemofi 13202	. . . . 5 |- O e. Fin
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> O e. Fin )
7		1z 9653	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
8		nnaddcl 9307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
9	2, 3, 8	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- ( M + N ) e. NN
10	9	nnzi 9648	. . . . . . . 8 |- ( M + N ) e. ZZ
11		fzfig 10850	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
12	7, 10, 11	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
13		0z 9638	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
14		ballotfilem.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
15		ballotth.f	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
16		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> c e. O )
17		elfzelz 10411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
19	2, 3, 4, 14, 15, 16, 18	ballotfilemfelz 13213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` c ) ` j ) e. ZZ )
20		zdclt 9705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` c ) ` j ) e. ZZ ) -> DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) )
21	13, 19, 20	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. O /\ j e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) )
22	21	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( c e. O -> A. j e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) )
23		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( ( F ` c ) ` j ) = ( ( F ` c ) ` i ) )
24	23	breq2d 4140	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( 0 < ( ( F ` c ) ` j ) <-> 0 < ( ( F ` c ) ` i ) ) )
25	24	dcbid 850	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> (DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) <-> DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) ) )
26	25	cbvralv 2786	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` j ) <-> A. i e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
27	22, 26	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( c e. O -> A. i e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
28		dcfi 7309	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) )DECID 0 < ( ( F ` c ) ` i ) ) -> DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
29	12, 27, 28	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( c e. O -> DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
30	29	rgen 2603	. . . . 5 |- A. c e. O DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i )
31	30	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> A. c e. O DECID A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) )
32	6, 31	ssfirab 7238	. . 3 |- ( T. -> { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } e. Fin )
33	32	mptru 1411	. 2 |- { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) } e. Fin
34	1, 33	eqeltri 2311	1 |- E e. Fin

Syntax hints:   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   \ cdif 3217   i^i cin 3219   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   |-> cmpt 4190   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   Fincfn 7016   0cc0 8173   1c1 8174   + caddc 8176   < clt 8354   - cmin 8491   / cdiv 8996   NNcn 9287   ZZcz 9627   ...cfz 10394  ♯chash 11197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-2o 6682  df-er 6801  df-map 6918  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-ihash 11198

This theorem is referenced by:  ballotfilemafi  13221  ballotfilembfi  13222  ballotfilemth  13264