Theorem ballotfilemofi 13200

Description: O is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-May-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemofi	|- O e. Fin

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c

Proof of Theorem ballotfilemofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotfilem.o	. 2 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
2		1z 9652	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		ballotth.m	. . . . . . . 8 |- M e. NN
4		ballotth.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
5		nnaddcl 9306	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
6	3, 4, 5	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
7	6	nnzi 9647	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
8		fzfig 10848	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin )
9	2, 7, 8	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
10		fipwfi 7314	. . . . 5 |- ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin -> ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) e. Fin )
11	9, 10	mp1i 10	. . . 4 |- ( T. -> ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) e. Fin )
12		elinel2 3416	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> c e. Fin )
13		hashcl 11201	. . . . . . . . 9 |- ( c e. Fin -> (♯ ` c ) e. NN0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> (♯ ` c ) e. NN0 )
15	14	nn0zd 9748	. . . . . . 7 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> (♯ ` c ) e. ZZ )
16	3	nnzi 9647	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
17		zdceq 9702	. . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` c ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID (♯ ` c ) = M )
18	15, 16, 17	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) -> DECID (♯ ` c ) = M )
19	18	rgen 2603	. . . . 5 |- A. c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin )DECID (♯ ` c ) = M
20	19	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> A. c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin )DECID (♯ ` c ) = M )
21	11, 20	ssfirab 7237	. . 3 |- ( T. -> { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } e. Fin )
22	21	mptru 1411	. 2 |- { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M } e. Fin
23	1, 22	eqeltri 2311	1 |- O e. Fin

Syntax hints:  DECID wdc 846   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   ~Pcpw 3688   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Fincfn 7015   1c1 8173   + caddc 8175   NNcn 9286   NN0cn0 9545   ZZcz 9626   ...cfz 10393  ♯chash 11195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-ltwlin 8285  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-apti 8287  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-frec 6655  df-1o 6680  df-2o 6681  df-er 6800  df-map 6917  df-en 7016  df-dom 7017  df-fin 7018  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-xr 8357  df-ltxr 8358  df-le 8359  df-sub 8492  df-neg 8493  df-inn 9287  df-n0 9546  df-z 9627  df-uz 9904  df-fz 10394  df-ihash 11196

This theorem is referenced by:  ballotfilem2  13209  ballotfilemefi  13218  ballotfilemafi  13219  ballotfilembfi  13220  ballotfilem7  13260  ballotfilem8  13261  ballotfilemth  13262