Theorem ballotfilemfval0 13293

Description: ( F ` C ) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemfval0	|- ( C e. O -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   C, i

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, c)   F( x)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemfval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . 3 |- N e. NN
3		ballotfilem.o	. . 3 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4		ballotfilem.p	. . 3 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . 3 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		id 19	. . 3 |- ( C e. O -> C e. O )
7		0zd 9667	. . 3 |- ( C e. O -> 0 e. ZZ )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotfilemfval 13287	. 2 |- ( C e. O -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = ( (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) \ C ) ) ) )
9		fz10 10467	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
10	9	ineq1i 3428	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) = ( (/) i^i C )
11		incom 3421	. . . . . . 7 |- ( C i^i (/) ) = ( (/) i^i C )
12		in0 3557	. . . . . . 7 |- ( C i^i (/) ) = (/)
13	10, 11, 12	3eqtr2i 2265	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) = (/)
14	13	fveq2i 5701	. . . . 5 |- (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) ) = (♯ ` (/) )
15		hash0 11257	. . . . 5 |- (♯ ` (/) ) = 0
16	14, 15	eqtri 2259	. . . 4 |- (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) ) = 0
17	9	difeq1i 3343	. . . . . . 7 |- ( ( 1 ... 0 ) \ C ) = ( (/) \ C )
18		0dif 3597	. . . . . . 7 |- ( (/) \ C ) = (/)
19	17, 18	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... 0 ) \ C ) = (/)
20	19	fveq2i 5701	. . . . 5 |- (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) \ C ) ) = (♯ ` (/) )
21	20, 15	eqtri 2259	. . . 4 |- (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) \ C ) ) = 0
22	16, 21	oveq12i 6100	. . 3 |- ( (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) \ C ) ) ) = ( 0 - 0 )
23		0m0e0 9425	. . 3 |- ( 0 - 0 ) = 0
24	22, 23	eqtri 2259	. 2 |- ( (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) i^i C ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... 0 ) \ C ) ) ) = 0
25	8, 24	eqtrdi 2287	1 |- ( C e. O -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   \ cdif 3217   i^i cin 3219   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   |-> cmpt 4193   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   - cmin 8504   / cdiv 9010   NNcn 9313   ZZcz 9655   ...cfz 10428  ♯chash 11236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-ihash 11237

This theorem is used by:  ballotfilem4  13299  ballotfilemi1  13303  ballotfilemii  13304  ballotfilemic  13308  ballotfilem1c  13309