Theorem ballotfilemfval0 13235

Description: (𝐹‘𝐶) always starts counting at 0 . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilem.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemfval0	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑐)   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotfilemfval0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotfilem.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotfilem.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑂 ∩ Fin) ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 19	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		0zd 9656	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 0 ∈ ℤ)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotfilemfval 13229	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))))
9		fz10 10450	. . . . . . . 8 ⊢ (1...0) = ∅
10	9	ineq1i 3428	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = (∅ ∩ 𝐶)
11		incom 3421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = (∅ ∩ 𝐶)
12		in0 3557	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∩ ∅) = ∅
13	10, 11, 12	3eqtr2i 2265	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∩ 𝐶) = ∅
14	13	fveq2i 5698	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = (♯‘∅)
15		hash0 11235	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
16	14, 15	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) = 0
17	9	difeq1i 3343	. . . . . . 7 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = (∅ ∖ 𝐶)
18		0dif 3597	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∖ 𝐶) = ∅
19	17, 18	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ ((1...0) ∖ 𝐶) = ∅
20	19	fveq2i 5698	. . . . 5 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = (♯‘∅)
21	20, 15	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (♯‘((1...0) ∖ 𝐶)) = 0
22	16, 21	oveq12i 6097	. . 3 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = (0 − 0)
23		0m0e0 9416	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
24	22, 23	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((♯‘((1...0) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...0) ∖ 𝐶))) = 0
25	8, 24	eqtrdi 2287	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘0) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Fincfn 7022  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497   / cdiv 9002  ℕcn 9304  ℤcz 9644  ...cfz 10411  ♯chash 11214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-ihash 11215

This theorem is used by:  ballotfilem4  13241  ballotfilemi1  13245  ballotfilemii  13246  ballotfilemic  13250  ballotfilem1c  13251