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Theorem ballotfilemic 13252
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotfilem.o |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn |- N < M
ballotth.i |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
Assertion
Ref Expression
ballotfilemic |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. C )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I   k, c, E   i, I
Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotfilemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 |- M e. NN
2 ballotth.n . . 3 |- N e. NN
3 ballotfilem.o . . 3 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4 eldifi 3351 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> C e. O )
6 ballotfilem.p . . . . . . . 8 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
7 ballotth.f . . . . . . . 8 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
8 ballotth.e . . . . . . . 8 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . 8 |- N < M
10 ballotth.i . . . . . . . 8 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10ballotfilemiex 13246 . . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
1211simpld 112 . . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
13 elfznn 10462 . . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
1412, 13syl 14 . . . . 5 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
1514nnzd 9769 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
1615adantr 276 . . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
171, 2, 3, 5, 16ballotfilemcdc 13225 . 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> DECID ( I ` C ) e. C )
184ad2antrr 492 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> C e. O )
1914adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. NN )
201, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10ballotfilemi1 13247 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) =/= 1 )
21 eluz2b3 10006 . . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( I ` C ) e. NN /\ ( I ` C ) =/= 1 ) )
2219, 20, 21sylanbrc 421 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23 uz2m1nn 10007 . . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
2422, 23syl 14 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
2524adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
26 elnnuz 9961 . . . . . . 7 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN <-> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2726biimpi 120 . . . . . 6 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28 eluzfz1 10437 . . . . . 6 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
2924, 27, 283syl 17 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
30 1nn 9316 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
3130a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. NN )
321, 2, 3, 6, 7, 4, 31ballotfilemfp1 13233 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( -. 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
3332simpld 112 . . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) ) )
3433imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) )
35 1m1e0 9374 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
3635fveq2i 5698 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` 0 )
3736oveq1i 6095 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 )
3837a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 ) )
391, 2, 3, 6, 7ballotfilemfval0 13237 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. O -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
404, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
4241oveq1d 6100 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
4334, 38, 423eqtrrd 2276 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( 0 - 1 ) = ( ( F ` C ) ` 1 ) )
44 0le1 8809 . . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
45 0re 8326 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
46 1re 8325 . . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
47 suble0 8804 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 0 - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ 1 ) )
4845, 46, 47mp2an 430 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ 1 )
4944, 48mpbir 146 . . . . . . 7 |- ( 0 - 1 ) <_ 0
5043, 49eqbrtrrdi 4170 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 )
5150adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 )
52 fveq2 5695 . . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` 1 ) )
5352breq1d 4140 . . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 ) )
5453rspcev 2929 . . . . 5 |- ( ( 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 ) -> E. i e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
5529, 51, 54syl2an2r 603 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> E. i e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
56 0lt1 8453 . . . . . 6 |- 0 < 1
57 1p0e1 9421 . . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
581, 2, 3, 6, 7, 4, 14ballotfilemfp1 13233 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( -. ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
5958simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
6059imp 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) )
6111simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
6261adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
6360, 62eqtr3d 2273 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) = 0 )
644adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> C e. O )
6515adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
66 1zzd 9673 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. ZZ )
6765, 66zsubcld 9775 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
681, 2, 3, 6, 7, 64, 67ballotfilemfelz 13232 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) e. ZZ )
6968zcnd 9771 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) e. CC )
70 1cnd 8342 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. CC )
71 0cnd 8319 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 e. CC )
7269, 70, 71subaddd 8655 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) = 0 <-> ( 1 + 0 ) = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
7363, 72mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( 1 + 0 ) = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
7457, 73eqtr3id 2285 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
7556, 74breqtrid 4167 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
7675adantlr 481 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
771, 2, 3, 6, 7, 18, 25, 55, 76ballotfilemfc0 13234 . . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
781, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10ballotfilemimin 13251 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
7978ad2antrr 492 . . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
8077, 79pm2.65da 671 . 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> -. -. ( I ` C ) e. C )
81 notnotrdc 855 . 2 |- (DECID ( I ` C ) e. C -> ( -. -. ( I ` C ) e. C -> ( I ` C ) e. C ) )
8217, 80, 81sylc 62 1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. C )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   \ cdif 3217   i^i cin 3219   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022  infcinf 7323   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9003   NNcn 9305   2c2 9356   ZZcz 9646   ZZ>=cuz 9923   ...cfz 10413  ♯chash 11216
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-ihash 11217
This theorem is used by:  ballotfilem7  13281
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