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Theorem ballotfilemic 13194
Description: If the first vote is for B, the vote on the first tie is for A. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotfilem.o |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn |- N < M
ballotth.i |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
Assertion
Ref Expression
ballotfilemic |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. C )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I   k, c, E   i, I
Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   E( x)   F( x)   I( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotfilemic
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 |- M e. NN
2 ballotth.n . . 3 |- N e. NN
3 ballotfilem.o . . 3 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
4 eldifi 3345 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
54adantr 276 . . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> C e. O )
6 ballotfilem.p . . . . . . . 8 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
7 ballotth.f . . . . . . . 8 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
8 ballotth.e . . . . . . . 8 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . 8 |- N < M
10 ballotth.i . . . . . . . 8 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10ballotfilemiex 13188 . . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
1211simpld 112 . . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
13 elfznn 10409 . . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. NN )
1412, 13syl 14 . . . . 5 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. NN )
1514nnzd 9717 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
1615adantr 276 . . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
171, 2, 3, 5, 16ballotfilemcdc 13167 . 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> DECID ( I ` C ) e. C )
184ad2antrr 488 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> C e. O )
1914adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. NN )
201, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10ballotfilemi1 13189 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) =/= 1 )
21 eluz2b3 9954 . . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( I ` C ) e. NN /\ ( I ` C ) =/= 1 ) )
2219, 20, 21sylanbrc 417 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
23 uz2m1nn 9955 . . . . . 6 |- ( ( I ` C ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
2422, 23syl 14 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
2524adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN )
26 elnnuz 9909 . . . . . . 7 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN <-> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
2726biimpi 120 . . . . . 6 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. NN -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28 eluzfz1 10385 . . . . . 6 |- ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
2924, 27, 283syl 17 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
30 1nn 9265 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
3130a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. NN )
321, 2, 3, 6, 7, 4, 31ballotfilemfp1 13175 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( -. 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
3332simpld 112 . . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. 1 e. C -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) ) )
3433imp 124 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) )
35 1m1e0 9323 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 - 1 ) = 0
3635fveq2i 5678 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` 0 )
3736oveq1i 6068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 )
3837a1i 9 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( 1 - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 ) )
391, 2, 3, 6, 7ballotfilemfval0 13179 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. O -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
404, 39syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 0 ) = 0 )
4241oveq1d 6073 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` 0 ) - 1 ) = ( 0 - 1 ) )
4334, 38, 423eqtrrd 2272 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( 0 - 1 ) = ( ( F ` C ) ` 1 ) )
44 0le1 8772 . . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
45 0re 8290 . . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
46 1re 8289 . . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
47 suble0 8767 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 0 - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ 1 ) )
4845, 46, 47mp2an 426 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 - 1 ) <_ 0 <-> 0 <_ 1 )
4944, 48mpbir 146 . . . . . . 7 |- ( 0 - 1 ) <_ 0
5043, 49eqbrtrrdi 4154 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 )
5150adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 )
52 fveq2 5675 . . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` 1 ) )
5352breq1d 4124 . . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 ) )
5453rspcev 2923 . . . . 5 |- ( ( 1 e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) /\ ( ( F ` C ) ` 1 ) <_ 0 ) -> E. i e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
5529, 51, 54syl2an2r 599 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> E. i e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
56 0lt1 8416 . . . . . 6 |- 0 < 1
57 1p0e1 9370 . . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
581, 2, 3, 6, 7, 4, 14ballotfilemfp1 13175 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( -. ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
5958simpld 112 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( -. ( I ` C ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
6059imp 124 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) )
6111simprd 114 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
6261adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
6360, 62eqtr3d 2269 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) = 0 )
644adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> C e. O )
6515adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
66 1zzd 9621 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. ZZ )
6765, 66zsubcld 9723 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
681, 2, 3, 6, 7, 64, 67ballotfilemfelz 13174 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) e. ZZ )
6968zcnd 9719 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) e. CC )
70 1cnd 8306 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 e. CC )
71 0cnd 8283 . . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 e. CC )
7269, 70, 71subaddd 8618 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) - 1 ) = 0 <-> ( 1 + 0 ) = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
7363, 72mpbid 147 . . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> ( 1 + 0 ) = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
7457, 73eqtr3id 2281 . . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 1 = ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
7556, 74breqtrid 4151 . . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
7675adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
771, 2, 3, 6, 7, 18, 25, 55, 76ballotfilemfc0 13176 . . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
781, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10ballotfilemimin 13193 . . . 4 |- ( C e. ( O \ E ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
7978ad2antrr 488 . . 3 |- ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) /\ -. ( I ` C ) e. C ) -> -. E. k e. ( 1 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
8077, 79pm2.65da 667 . 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> -. -. ( I ` C ) e. C )
81 notnotrdc 851 . 2 |- (DECID ( I ` C ) e. C -> ( -. -. ( I ` C ) e. C -> ( I ` C ) e. C ) )
8217, 80, 81sylc 62 1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ -. 1 e. C ) -> ( I ` C ) e. C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   \ cdif 3211   i^i cin 3213   ~Pcpw 3674   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988  infcinf 7287   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ♯chash 11163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164
This theorem is referenced by:  ballotfilem7  13223
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