ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 Unicode version

Theorem bcn2m1 10546
Description: Compute the binomial coefficient " N choose 2 " from " ( N  -  1 ) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( N  _C  2 ) )

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 9041 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
21nn0cnd 9055 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
3 2z 9105 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
4 bccl 10544 . . . . 5  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  _C  2
)  e.  NN0 )
51, 3, 4sylancl 410 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  2 )  e.  NN0 )
65nn0cnd 9055 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  2 )  e.  CC )
72, 6addcomd 7936 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( N  -  1 ) ) )
8 bcn1 10535 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  _C  1 )  =  ( N  -  1 ) )
98eqcomd 2146 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  - 
1 )  _C  1
) )
101, 9syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  1 ) )
11 1e2m1 8862 . . . . . 6  |-  1  =  ( 2  -  1 )
1211a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
1312oveq2d 5797 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  _C  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )
1410, 13eqtrd 2173 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )
1514oveq2d 5797 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( ( N  - 
1 )  _C  (
2  -  1 ) ) ) )
16 bcpasc 10543 . . . 4  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  NN0  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( N  -  1 )  _C  2 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  2 ) )
171, 3, 16sylancl 410 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  +  1 )  _C  2 ) )
18 nncn 8751 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
19 1cnd 7805 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
2018, 19npcand 8100 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
2120oveq1d 5796 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  +  1 )  _C  2 )  =  ( N  _C  2 ) )
2217, 21eqtrd 2173 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  - 
1 )  _C  2
)  +  ( ( N  -  1 )  _C  ( 2  -  1 ) ) )  =  ( N  _C  2 ) )
237, 15, 223eqtrd 2177 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  +  ( ( N  -  1 )  _C  2 ) )  =  ( N  _C  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1332    e. wcel 1481  (class class class)co 5781   1c1 7644    + caddc 7646    - cmin 7956   NNcn 8743   2c2 8794   NN0cn0 9000   ZZcz 9077    _C cbc 10524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-seqfrec 10249  df-fac 10503  df-bc 10525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator