Theorem bcn2m1 10916

Description: Compute the binomial coefficient " N choose 2 " from " ( N - 1 ) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2m1	|- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( N _C 2 ) )

Proof of Theorem bcn2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 9338	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
2	1	nn0cnd 9352	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
3		2z 9402	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4		bccl 10914	. . . . 5 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN0 /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. NN0 )
5	1, 3, 4	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. NN0 )
6	5	nn0cnd 9352	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. CC )
7	2, 6	addcomd 8225	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( N - 1 ) ) )
8		bcn1 10905	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) _C 1 ) = ( N - 1 ) )
9	8	eqcomd 2211	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C 1 ) )
10	1, 9	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C 1 ) )
11		1e2m1 9157	. . . . . 6 |- 1 = ( 2 - 1 )
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
13	12	oveq2d 5962	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 1 ) = ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) )
14	10, 13	eqtrd 2238	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5962	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( N - 1 ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) )
16		bcpasc 10913	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN0 /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) )
17	1, 3, 16	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) )
18		nncn 9046	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19		1cnd 8090	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
20	18, 19	npcand 8389	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
21	20	oveq1d 5961	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) = ( N _C 2 ) )
22	17, 21	eqtrd 2238	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( N _C 2 ) )
23	7, 15, 22	3eqtrd 2242	1 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( N _C 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   NNcn 9038   2c2 9089   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   _C cbc 10894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-seqfrec 10595  df-fac 10873  df-bc 10895

This theorem is referenced by: (None)