Theorem bcn2m1 10741

Description: Compute the binomial coefficient " N choose 2 " from " ( N - 1 ) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2m1	|- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( N _C 2 ) )

Proof of Theorem bcn2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 9212	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
2	1	nn0cnd 9226	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
3		2z 9276	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4		bccl 10739	. . . . 5 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN0 /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. NN0 )
5	1, 3, 4	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. NN0 )
6	5	nn0cnd 9226	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. CC )
7	2, 6	addcomd 8103	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( N - 1 ) ) )
8		bcn1 10730	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) _C 1 ) = ( N - 1 ) )
9	8	eqcomd 2183	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C 1 ) )
10	1, 9	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C 1 ) )
11		1e2m1 9033	. . . . . 6 |- 1 = ( 2 - 1 )
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
13	12	oveq2d 5887	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 1 ) = ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) )
14	10, 13	eqtrd 2210	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5887	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( N - 1 ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) )
16		bcpasc 10738	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN0 /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) )
17	1, 3, 16	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) )
18		nncn 8922	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19		1cnd 7969	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
20	18, 19	npcand 8267	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
21	20	oveq1d 5886	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) = ( N _C 2 ) )
22	17, 21	eqtrd 2210	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( N _C 2 ) )
23	7, 15, 22	3eqtrd 2214	1 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( N _C 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5871   1c1 7808   + caddc 7810   - cmin 8123   NNcn 8914   2c2 8965   NN0cn0 9171   ZZcz 9248   _C cbc 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-fz 10004  df-seqfrec 10440  df-fac 10698  df-bc 10720

This theorem is referenced by: (None)