Theorem bcn2m1 10751

Description: Compute the binomial coefficient " N choose 2 " from " ( N - 1 ) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2m1	|- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( N _C 2 ) )

Proof of Theorem bcn2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 9219	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
2	1	nn0cnd 9233	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
3		2z 9283	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
4		bccl 10749	. . . . 5 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN0 /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. NN0 )
5	1, 3, 4	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. NN0 )
6	5	nn0cnd 9233	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 2 ) e. CC )
7	2, 6	addcomd 8110	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( N - 1 ) ) )
8		bcn1 10740	. . . . . 6 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( ( N - 1 ) _C 1 ) = ( N - 1 ) )
9	8	eqcomd 2183	. . . . 5 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C 1 ) )
10	1, 9	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C 1 ) )
11		1e2m1 9040	. . . . . 6 |- 1 = ( 2 - 1 )
12	11	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 = ( 2 - 1 ) )
13	12	oveq2d 5893	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) _C 1 ) = ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) )
14	10, 13	eqtrd 2210	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) = ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) )
15	14	oveq2d 5893	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( N - 1 ) ) = ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) )
16		bcpasc 10748	. . . 4 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN0 /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) )
17	1, 3, 16	sylancl 413	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) )
18		nncn 8929	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. CC )
19		1cnd 7975	. . . . 5 |- ( N e. NN -> 1 e. CC )
20	18, 19	npcand 8274	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
21	20	oveq1d 5892	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) _C 2 ) = ( N _C 2 ) )
22	17, 21	eqtrd 2210	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) _C 2 ) + ( ( N - 1 ) _C ( 2 - 1 ) ) ) = ( N _C 2 ) )
23	7, 15, 22	3eqtrd 2214	1 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + ( ( N - 1 ) _C 2 ) ) = ( N _C 2 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   1c1 7814   + caddc 7816   - cmin 8130   NNcn 8921   2c2 8972   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   _C cbc 10729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-fac 10708  df-bc 10730

This theorem is referenced by: (None)