ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 GIF version

Theorem bcn2m1 10508
Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 9011 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21nn0cnd 9025 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3 2z 9075 . . . . 5 2 ∈ ℤ
4 bccl 10506 . . . . 5 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
51, 3, 4sylancl 409 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 9025 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
72, 6addcomd 7906 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8 bcn1 10497 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
98eqcomd 2143 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
101, 9syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11 1e2m1 8832 . . . . . 6 1 = (2 − 1)
1211a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
1312oveq2d 5783 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1410, 13eqtrd 2170 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1514oveq2d 5783 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16 bcpasc 10505 . . . 4 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
171, 3, 16sylancl 409 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18 nncn 8721 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 1cnd 7775 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 8070 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2120oveq1d 5782 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
2217, 21eqtrd 2170 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
237, 15, 223eqtrd 2174 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5767  1c1 7614   + caddc 7616  cmin 7926  cn 8713  2c2 8764  0cn0 8970  cz 9047  Ccbc 10486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-seqfrec 10212  df-fac 10465  df-bc 10487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator