Theorem bcn2m1 11132

Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bcn2m1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 9537	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
2	1	nn0cnd 9555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3		2z 9605	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		bccl 11129	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
5	1, 3, 4	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
6	5	nn0cnd 9555	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
7	2, 6	addcomd 8424	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8		bcn1 11120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
9	8	eqcomd 2238	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
10	1, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11		1e2m1 9356	. . . . . 6 ⊢ 1 = (2 − 1)
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
13	12	oveq2d 6066	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
14	10, 13	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
15	14	oveq2d 6066	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16		bcpasc 11128	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
17	1, 3, 16	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18		nncn 9245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19		1cnd 8290	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	npcand 8588	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	20	oveq1d 6065	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
22	17, 21	eqtrd 2265	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
23	7, 15, 22	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   − cmin 8444  ℕcn 9237  2c2 9288  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  Ccbc 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-fac 11088  df-bc 11110

This theorem is referenced by: (None)