ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bcn2m1 GIF version

Theorem bcn2m1 10733
Description: Compute the binomial coefficient "𝑁 choose 2 " from "(𝑁 − 1) choose 2 ": (N-1) + ( (N-1) 2 ) = ( N 2 ). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
bcn2m1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))

Proof of Theorem bcn2m1
StepHypRef Expression
1 nnm1nn0 9206 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
21nn0cnd 9220 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
3 2z 9270 . . . . 5 2 ∈ ℤ
4 bccl 10731 . . . . 5 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
51, 3, 4sylancl 413 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℕ0)
65nn0cnd 9220 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C2) ∈ ℂ)
72, 6addcomd 8098 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)))
8 bcn1 10722 . . . . . 6 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1)C1) = (𝑁 − 1))
98eqcomd 2183 . . . . 5 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
101, 9syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C1))
11 1e2m1 9027 . . . . . 6 1 = (2 − 1)
1211a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 = (2 − 1))
1312oveq2d 5885 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1)C1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1410, 13eqtrd 2210 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 1)C(2 − 1)))
1514oveq2d 5885 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + (𝑁 − 1)) = (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))))
16 bcpasc 10730 . . . 4 (((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
171, 3, 16sylancl 413 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (((𝑁 − 1) + 1)C2))
18 nncn 8916 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
19 1cnd 7964 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 8262 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2120oveq1d 5884 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1)C2) = (𝑁C2))
2217, 21eqtrd 2210 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1)C2) + ((𝑁 − 1)C(2 − 1))) = (𝑁C2))
237, 15, 223eqtrd 2214 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + ((𝑁 − 1)C2)) = (𝑁C2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  (class class class)co 5869  1c1 7803   + caddc 7805  cmin 8118  cn 8908  2c2 8959  0cn0 9165  cz 9242  Ccbc 10711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-seqfrec 10432  df-fac 10690  df-bc 10712
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator