Theorem ccat0 11342

Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat0	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )

Proof of Theorem ccat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 11341	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
2	1	eqeq1d 2247	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 ) )
3		ccatclab 11340	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word ( A u. B ) )
4		wrdfin 11301	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) e. Word ( A u. B ) -> ( S ++ T ) e. Fin )
5		fihasheq0 11210	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) e. Fin -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( S ++ T ) = (/) ) )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( S ++ T ) = (/) ) )
7		lencl 11286	. . . . 5 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
8		nn0re 9551	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> (♯ ` S ) e. RR )
9		nn0ge0 9567	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` S ) )
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) )
11	7, 10	syl 14	. . . 4 |- ( S e. Word A -> ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 11286	. . . . 5 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
13		nn0re 9551	. . . . . 6 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> (♯ ` T ) e. RR )
14		nn0ge0 9567	. . . . . 6 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` T ) )
15	13, 14	jca 306	. . . . 5 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( T e. Word B -> ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) )
17		add20 8792	. . . 4 |- ( ( ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) /\ ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) ) -> ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
18	11, 16, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
19	2, 6, 18	3bitr3d 218	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
20		wrdfin 11301	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
21		fihasheq0 11210	. . . 4 |- ( S e. Fin -> ( (♯ ` S ) = 0 <-> S = (/) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( S e. Word A -> ( (♯ ` S ) = 0 <-> S = (/) ) )
23		wrdfin 11301	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
24		fihasheq0 11210	. . . 4 |- ( T e. Fin -> ( (♯ ` T ) = 0 <-> T = (/) ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( T e. Word B -> ( (♯ ` T ) = 0 <-> T = (/) ) )
26	22, 25	bi2anan9 614	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )
27	19, 26	bitrd 188	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   u. cun 3218   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   <_ cle 8351   NN0cn0 9542  ♯chash 11192  Word cword 11282   ++ cconcat 11336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337

This theorem is referenced by:  clwwlkccat  16556