Theorem ccat0 11126

Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat0	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )

Proof of Theorem ccat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 11125	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
2	1	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 ) )
3		ccatclab 11124	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word ( A u. B ) )
4		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) e. Word ( A u. B ) -> ( S ++ T ) e. Fin )
5		fihasheq0 11010	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) e. Fin -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( S ++ T ) = (/) ) )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( S ++ T ) = (/) ) )
7		lencl 11070	. . . . 5 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
8		nn0re 9374	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> (♯ ` S ) e. RR )
9		nn0ge0 9390	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` S ) )
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) )
11	7, 10	syl 14	. . . 4 |- ( S e. Word A -> ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 11070	. . . . 5 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
13		nn0re 9374	. . . . . 6 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> (♯ ` T ) e. RR )
14		nn0ge0 9390	. . . . . 6 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` T ) )
15	13, 14	jca 306	. . . . 5 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( T e. Word B -> ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) )
17		add20 8617	. . . 4 |- ( ( ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) /\ ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) ) -> ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
18	11, 16, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
19	2, 6, 18	3bitr3d 218	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
20		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
21		fihasheq0 11010	. . . 4 |- ( S e. Fin -> ( (♯ ` S ) = 0 <-> S = (/) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( S e. Word A -> ( (♯ ` S ) = 0 <-> S = (/) ) )
23		wrdfin 11085	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
24		fihasheq0 11010	. . . 4 |- ( T e. Fin -> ( (♯ ` T ) = 0 <-> T = (/) ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( T e. Word B -> ( (♯ ` T ) = 0 <-> T = (/) ) )
26	22, 25	bi2anan9 608	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )
27	19, 26	bitrd 188	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3195   (/)c0 3491   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Fincfn 6885   RRcr 7994   0cc0 7995   + caddc 7998   <_ cle 8178   NN0cn0 9365  ♯chash 10992  Word cword 11066   ++ cconcat 11120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-ihash 10993  df-word 11067  df-concat 11121

This theorem is referenced by: (None)