Theorem ccat0 11163

Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat0	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )

Proof of Theorem ccat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 11162	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> (♯ ` ( S ++ T ) ) = ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) )
2	1	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 ) )
3		ccatclab 11161	. . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) e. Word ( A u. B ) )
4		wrdfin 11122	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) e. Word ( A u. B ) -> ( S ++ T ) e. Fin )
5		fihasheq0 11045	. . . 4 |- ( ( S ++ T ) e. Fin -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( S ++ T ) = (/) ) )
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( (♯ ` ( S ++ T ) ) = 0 <-> ( S ++ T ) = (/) ) )
7		lencl 11107	. . . . 5 |- ( S e. Word A -> (♯ ` S ) e. NN0 )
8		nn0re 9401	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> (♯ ` S ) e. RR )
9		nn0ge0 9417	. . . . . 6 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` S ) )
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 |- ( (♯ ` S ) e. NN0 -> ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) )
11	7, 10	syl 14	. . . 4 |- ( S e. Word A -> ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) )
12		lencl 11107	. . . . 5 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
13		nn0re 9401	. . . . . 6 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> (♯ ` T ) e. RR )
14		nn0ge0 9417	. . . . . 6 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> 0 <_ (♯ ` T ) )
15	13, 14	jca 306	. . . . 5 |- ( (♯ ` T ) e. NN0 -> ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) )
16	12, 15	syl 14	. . . 4 |- ( T e. Word B -> ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) )
17		add20 8644	. . . 4 |- ( ( ( (♯ ` S ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` S ) ) /\ ( (♯ ` T ) e. RR /\ 0 <_ (♯ ` T ) ) ) -> ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
18	11, 16, 17	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) = 0 <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
19	2, 6, 18	3bitr3d 218	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) ) )
20		wrdfin 11122	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
21		fihasheq0 11045	. . . 4 |- ( S e. Fin -> ( (♯ ` S ) = 0 <-> S = (/) ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( S e. Word A -> ( (♯ ` S ) = 0 <-> S = (/) ) )
23		wrdfin 11122	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
24		fihasheq0 11045	. . . 4 |- ( T e. Fin -> ( (♯ ` T ) = 0 <-> T = (/) ) )
25	23, 24	syl 14	. . 3 |- ( T e. Word B -> ( (♯ ` T ) = 0 <-> T = (/) ) )
26	22, 25	bi2anan9 608	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( (♯ ` S ) = 0 /\ (♯ ` T ) = 0 ) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )
27	19, 26	bitrd 188	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( ( S ++ T ) = (/) <-> ( S = (/) /\ T = (/) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   u. cun 3196   (/)c0 3492   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   <_ cle 8205   NN0cn0 9392  ♯chash 11027  Word cword 11103   ++ cconcat 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-concat 11158

This theorem is referenced by:  clwwlkccat  16196