Theorem ccatval1 11381

Description: Value of a symbol in the left half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval1	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( S ` I ) )

Proof of Theorem ccatval1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11339	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
2		wrdfin 11339	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11376	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	3adant3 1048	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6		eleq1 2301	. . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7		fveq2 5695	. . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8		fvoveq1 6108	. . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3667	. . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10		iftrue 3645	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( S ` I ) )
11	10	3ad2ant3 1051	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( S ` I ) )
12	9, 11	sylan9eqr 2293	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( S ` I ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14		lencl 11324	. . . 4 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
15		elfzoext 10621	. . . 4 |- ( ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) /\ (♯ ` T ) e. NN0 ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
16	13, 14, 15	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
17	16	3adant1 1046	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
18		wrdsymbcl 11334	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` I ) e. A )
19	18	3adant2 1047	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` I ) e. A )
20	5, 12, 17, 19	fvmptd 5786	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( S ` I ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ifcif 3638   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   0cc0 8180   + caddc 8183   - cmin 8499   NN0cn0 9568  ..^cfzo 10560  ♯chash 11230  Word cword 11320   ++ cconcat 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-fzo 10561  df-ihash 11231  df-word 11321  df-concat 11375

This theorem is used by:  ccatsymb  11386  ccatfv0  11387  ccatval1lsw  11388  ccatrid  11391  ccatass  11392  ccatrn  11393  ccats1val1g  11423  lswccats1fst  11428  ccat2s1fvwd  11431  ccatswrd  11458  ccatpfx  11489  pfxccat1  11490  swrdccatin1  11513  pfxccatin12lem3  11520  pfxccatin12  11521  cats1fvd  11554  clwwlkccatlem  16807