Theorem ccatval1 11164

Description: Value of a symbol in the left half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval1	|- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( S ` I ) )

Proof of Theorem ccatval1

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11122	. . . 4 |- ( S e. Word A -> S e. Fin )
2		wrdfin 11122	. . . 4 |- ( T e. Word B -> T e. Fin )
3		ccatfvalfi 11159	. . . 4 |- ( ( S e. Fin /\ T e. Fin ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
5	4	3adant3 1041	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ++ T ) = ( x e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) |-> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) ) )
6		eleq1 2292	. . . 4 |- ( x = I -> ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) <-> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) )
7		fveq2 5635	. . . 4 |- ( x = I -> ( S ` x ) = ( S ` I ) )
8		fvoveq1 6036	. . . 4 |- ( x = I -> ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) = ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) )
9	6, 7, 8	ifbieq12d 3630	. . 3 |- ( x = I -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) )
10		iftrue 3608	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( S ` I ) )
11	10	3ad2ant3 1044	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> if ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` I ) , ( T ` ( I - (♯ ` S ) ) ) ) = ( S ` I ) )
12	9, 11	sylan9eqr 2284	. 2 |- ( ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) /\ x = I ) -> if ( x e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) , ( S ` x ) , ( T ` ( x - (♯ ` S ) ) ) ) = ( S ` I ) )
13		id 19	. . . 4 |- ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) -> I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) )
14		lencl 11107	. . . 4 |- ( T e. Word B -> (♯ ` T ) e. NN0 )
15		elfzoext 10427	. . . 4 |- ( ( I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) /\ (♯ ` T ) e. NN0 ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
16	13, 14, 15	syl2anr 290	. . 3 |- ( ( T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
17	16	3adant1 1039	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> I e. ( 0..^ ( (♯ ` S ) + (♯ ` T ) ) ) )
18		wrdsymbcl 11117	. . 3 |- ( ( S e. Word A /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` I ) e. A )
19	18	3adant2 1040	. 2 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( S ` I ) e. A )
20	5, 12, 17, 19	fvmptd 5723	1 |- ( ( S e. Word A /\ T e. Word B /\ I e. ( 0..^ (♯ ` S ) ) ) -> ( ( S ++ T ) ` I ) = ( S ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ifcif 3603   |-> cmpt 4148   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   0cc0 8022   + caddc 8025   - cmin 8340   NN0cn0 9392  ..^cfzo 10367  ♯chash 11027  Word cword 11103   ++ cconcat 11157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-ihash 11028  df-word 11104  df-concat 11158

This theorem is referenced by:  ccatsymb  11169  ccatfv0  11170  ccatval1lsw  11171  ccatrid  11174  ccatass  11175  ccatrn  11176  ccats1val1g  11206  lswccats1fst  11211  ccat2s1fvwd  11214  ccatswrd  11241  ccatpfx  11272  pfxccat1  11273  swrdccatin1  11296  pfxccatin12lem3  11303  pfxccatin12  11304  cats1fvd  11337  clwwlkccatlem  16195