Theorem ccat0 11386

Description: The concatenation of two words is empty iff the two words are empty. (Contributed by AV, 4-Mar-2022.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat0	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))

Proof of Theorem ccat0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatlen 11385	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
2	1	eqeq1d 2247	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0))
3		ccatclab 11384	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word (𝐴 ∪ 𝐵))
4		wrdfin 11345	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word (𝐴 ∪ 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Fin)
5		fihasheq0 11254	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Fin → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
6	3, 4, 5	3syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ++ 𝑇) = ∅))
7		lencl 11330	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
8		nn0re 9583	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑆) ∈ ℝ)
9		nn0ge0 9599	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑆))
10	8, 9	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
11	7, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)))
12		lencl 11330	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
13		nn0re 9583	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑇) ∈ ℝ)
14		nn0ge0 9599	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝑇))
15	13, 14	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
16	12, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇)))
17		add20 8809	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑆)) ∧ ((♯‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝑇))) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
18	11, 16, 17	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) = 0 ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
19	2, 6, 18	3bitr3d 218	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ ((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0)))
20		wrdfin 11345	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → 𝑆 ∈ Fin)
21		fihasheq0 11254	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin → ((♯‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = ∅))
22	20, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑆) = 0 ↔ 𝑆 = ∅))
23		wrdfin 11345	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇 ∈ Fin)
24		fihasheq0 11254	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Fin → ((♯‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = ∅))
25	23, 24	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → ((♯‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = ∅))
26	22, 25	bi2anan9 614	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (((♯‘𝑆) = 0 ∧ (♯‘𝑇) = 0) ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))
27	19, 26	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 ++ 𝑇) = ∅ ↔ (𝑆 = ∅ ∧ 𝑇 = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381

This theorem is used by:  clwwlkccat  16847