ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcvg1n Unicode version

Theorem climcvg1n 10726
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within  C  /  n of the nth term, where  C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
climcvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climcvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
Assertion
Ref Expression
climcvg1n  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, n    ph, k, n

Proof of Theorem climcvg1n
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcvg1n.f . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2 climcvg1n.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 climcvg1n.cau . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
4 eqid 2088 . 2  |-  ( x  e.  NN  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )
5 fveq2 5299 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
65fveq2d 5303 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
Im `  ( F `  y ) )  =  ( Im `  ( F `  x )
) )
76cbvmptv 3932 . 2  |-  ( y  e.  NN  |->  ( Im
`  ( F `  y ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )
8 eqid 2088 . 2  |-  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( ( y  e.  NN  |->  ( Im
`  ( F `  y ) ) ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( ( y  e.  NN  |->  ( Im
`  ( F `  y ) ) ) `
 x ) ) )
91, 2, 3, 4, 7, 8climcvg1nlem 10725 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1438   A.wral 2359   class class class wbr 3843    |-> cmpt 3897   dom cdm 4436   -->wf 5006   ` cfv 5010  (class class class)co 5644   CCcc 7338   _ici 7342    x. cmul 7345    < clt 7512    - cmin 7643    / cdiv 8129   NNcn 8412   ZZ>=cuz 9009   RR+crp 9124   Recre 10262   Imcim 10263   abscabs 10418    ~~> cli 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401  ax-cnex 7426  ax-resscn 7427  ax-1cn 7428  ax-1re 7429  ax-icn 7430  ax-addcl 7431  ax-addrcl 7432  ax-mulcl 7433  ax-mulrcl 7434  ax-addcom 7435  ax-mulcom 7436  ax-addass 7437  ax-mulass 7438  ax-distr 7439  ax-i2m1 7440  ax-0lt1 7441  ax-1rid 7442  ax-0id 7443  ax-rnegex 7444  ax-precex 7445  ax-cnre 7446  ax-pre-ltirr 7447  ax-pre-ltwlin 7448  ax-pre-lttrn 7449  ax-pre-apti 7450  ax-pre-ltadd 7451  ax-pre-mulgt0 7452  ax-pre-mulext 7453  ax-arch 7454  ax-caucvg 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3392  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-ilim 4194  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-frec 6148  df-pnf 7514  df-mnf 7515  df-xr 7516  df-ltxr 7517  df-le 7518  df-sub 7645  df-neg 7646  df-reap 8042  df-ap 8049  df-div 8130  df-inn 8413  df-2 8471  df-3 8472  df-4 8473  df-n0 8664  df-z 8741  df-uz 9010  df-rp 9125  df-iseq 9841  df-seq3 9842  df-exp 9943  df-cj 10264  df-re 10265  df-im 10266  df-rsqrt 10419  df-abs 10420  df-clim 10654
This theorem is referenced by:  cvgratnn  10912
  Copyright terms: Public domain W3C validator