ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcvg1n Unicode version

Theorem climcvg1n 11059
Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within  C  /  n of the nth term, where  C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
climcvg1n.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
climcvg1n.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
Assertion
Ref Expression
climcvg1n  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable groups:    C, k, n   
k, F, n    ph, k, n

Proof of Theorem climcvg1n
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcvg1n.f . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
2 climcvg1n.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3 climcvg1n.cau . 2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n ) ( abs `  ( ( F `  k )  -  ( F `  n )
) )  <  ( C  /  n ) )
4 eqid 2115 . 2  |-  ( x  e.  NN  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )
5 fveq2 5387 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
65fveq2d 5391 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
Im `  ( F `  y ) )  =  ( Im `  ( F `  x )
) )
76cbvmptv 3992 . 2  |-  ( y  e.  NN  |->  ( Im
`  ( F `  y ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )
8 eqid 2115 . 2  |-  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( ( y  e.  NN  |->  ( Im
`  ( F `  y ) ) ) `
 x ) ) )  =  ( x  e.  NN  |->  ( _i  x.  ( ( y  e.  NN  |->  ( Im
`  ( F `  y ) ) ) `
 x ) ) )
91, 2, 3, 4, 7, 8climcvg1nlem 11058 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   A.wral 2391   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   dom cdm 4507   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   CCcc 7582   _ici 7586    x. cmul 7589    < clt 7764    - cmin 7897    / cdiv 8392   NNcn 8677   ZZ>=cuz 9275   RR+crp 9390   Recre 10552   Imcim 10553   abscabs 10709    ~~> cli 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-rp 9391  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988
This theorem is referenced by:  cvgratnn  11240  cvgcmp2n  13039
  Copyright terms: Public domain W3C validator