Theorem climcvg1n 11371

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within C / n of the nth term, where C is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	|- ( ph -> F : NN --> CC )
climcvg1n.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
climcvg1n.cau	|- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )

Assertion

Ref	Expression
climcvg1n	|- ( ph -> F e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   C, k, n   k, F, n   ph, k, n

Proof of Theorem climcvg1n

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcvg1n.f	. 2 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2		climcvg1n.c	. 2 |- ( ph -> C e. RR+ )
3		climcvg1n.cau	. 2 |- ( ph -> A. n e. NN A. k e. ( ZZ>= ` n ) ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` n ) ) ) < ( C / n ) )
4		eqid 2187	. 2 |- ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( Re ` ( F ` x ) ) )
5		fveq2 5527	. . . 4 |- ( y = x -> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
6	5	fveq2d 5531	. . 3 |- ( y = x -> ( Im ` ( F ` y ) ) = ( Im ` ( F ` x ) ) )
7	6	cbvmptv 4111	. 2 |- ( y e. NN |-> ( Im ` ( F ` y ) ) ) = ( x e. NN |-> ( Im ` ( F ` x ) ) )
8		eqid 2187	. 2 |- ( x e. NN |-> ( _i x. ( ( y e. NN |-> ( Im ` ( F ` y ) ) ) ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> ( _i x. ( ( y e. NN |-> ( Im ` ( F ` y ) ) ) ` x ) ) )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	climcvg1nlem 11370	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158   A.wral 2465   class class class wbr 4015   |-> cmpt 4076   dom cdm 4638   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7822   _ici 7826   x. cmul 7829   < clt 8005   - cmin 8141   / cdiv 8642   NNcn 8932   ZZ>=cuz 9541   RR+crp 9666   Recre 10862   Imcim 10863   abscabs 11019   ~~> cli 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300

This theorem is referenced by:  cvgratnn  11552  cvgcmp2n  15053