Theorem cvgcmp2n 13231

Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2n	|- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   k, G   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2n

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9364	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9084	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		cvgcmp2n.cl	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
4	3	recnd 7797	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
5	1, 2, 4	serf 10250	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) : NN --> CC )
6		2rp 9449	. . 3 |- 2 e. RR+
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
8	3	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
9		cvgcmp2n.ge0	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
10	9	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
11		cvgcmp2n.lt	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
12	11	adantlr 468	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
13		simprl 520	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> m e. NN )
14		simprr 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` m ) )
15	8, 10, 12, 13, 14	cvgcmp2nlemabs 13230	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` n ) - ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) < ( 2 / m ) )
16	15	ralrimivva 2514	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` n ) - ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) < ( 2 / m ) )
17	5, 7, 16	climcvg1n 11122	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7622   0cc0 7623   1c1 7624   + caddc 7626   < clt 7803   <_ cle 7804   - cmin 7936   / cdiv 8435   NNcn 8723   2c2 8774   ZZ>=cuz 9329   RR+crp 9444   seqcseq 10221   ^cexp 10295   abscabs 10772   ~~> cli 11050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-ico 9680  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-ihash 10525  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-clim 11051  df-sumdc 11126

This theorem is referenced by:  trilpolemclim  13232