Theorem cvgcmp2n 15972

Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvgcmp2n.cl	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
cvgcmp2n.ge0	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
cvgcmp2n.lt	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvgcmp2n	|- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   k, G   ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2n

Dummy variables m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9684	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 9399	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		cvgcmp2n.cl	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
4	3	recnd 8101	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. CC )
5	1, 2, 4	serf 10628	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) : NN --> CC )
6		2rp 9780	. . 3 |- 2 e. RR+
7	6	a1i 9	. 2 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
8	3	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
9		cvgcmp2n.ge0	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
10	9	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( G ` k ) )
11		cvgcmp2n.lt	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
12	11	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) <_ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
13		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> m e. NN )
14		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` m ) )
15	8, 10, 12, 13, 14	cvgcmp2nlemabs 15971	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` m ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` n ) - ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) < ( 2 / m ) )
16	15	ralrimivva 2588	. 2 |- ( ph -> A. m e. NN A. n e. ( ZZ>= ` m ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , G ) ` n ) - ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) < ( 2 / m ) )
17	5, 7, 16	climcvg1n 11661	1 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   dom cdm 4675   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   ZZ>=cuz 9648   RR+crp 9775   seqcseq 10592   ^cexp 10683   abscabs 11308   ~~> cli 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-ico 10016  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665

This theorem is referenced by:  trilpolemclim  15975