Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvgcmp2n Unicode version

Theorem cvgcmp2n 13314
Description: A comparison test for convergence of a real infinite series. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgcmp2n.cl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
cvgcmp2n.ge0  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( G `  k
) )
cvgcmp2n.lt  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  <_ 
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
Assertion
Ref Expression
cvgcmp2n  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    k, G    ph, k

Proof of Theorem cvgcmp2n
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9373 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 9093 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 cvgcmp2n.cl . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
43recnd 7806 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  CC )
51, 2, 4serf 10259 . 2  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> CC )
6 2rp 9458 . . 3  |-  2  e.  RR+
76a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
83adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
9 cvgcmp2n.ge0 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( G `  k
) )
109adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k )
)
11 cvgcmp2n.lt . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  <_ 
( 1  /  (
2 ^ k ) ) )
1211adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  (
1  /  ( 2 ^ k ) ) )
13 simprl 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  m  e.  NN )
14 simprr 521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
158, 10, 12, 13, 14cvgcmp2nlemabs 13313 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  ( abs `  ( (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  -  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  < 
( 2  /  m
) )
1615ralrimivva 2514 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( abs `  ( (  seq 1
(  +  ,  G
) `  n )  -  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  m )
) )  <  (
2  /  m ) )
175, 7, 16climcvg1n 11131 1  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    < clt 7812    <_ cle 7813    - cmin 7945    / cdiv 8444   NNcn 8732   2c2 8783   ZZ>=cuz 9338   RR+crp 9453    seqcseq 10230   ^cexp 10304   abscabs 10781    ~~> cli 11059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-ico 9689  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060  df-sumdc 11135
This theorem is referenced by:  trilpolemclim  13315
  Copyright terms: Public domain W3C validator