Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cvgratnn Unicode version

Theorem cvgratnn 11293
 Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio of the absolute values of successive terms in an infinite sequence is less than 1 for all terms, then the infinite sum of the terms of converges to a complex number. Although this theorem is similar to cvgratz 11294 and cvgratgt0 11295, the decision to index starting at one is not merely cosmetic, as proving convergence using climcvg1n 11112 is sensitive to how a sequence is indexed. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgratnn.3
cvgratnn.4
cvgratnn.gt0
cvgratnn.6
cvgratnn.7
Assertion
Ref Expression
cvgratnn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem cvgratnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 9354 . . 3
2 1zzd 9074 . . 3
3 cvgratnn.6 . . 3
41, 2, 3serf 10240 . 2
5 cvgratnn.3 . . . . . . . . . 10
6 cvgratnn.gt0 . . . . . . . . . 10
75, 6elrpd 9474 . . . . . . . . 9
87rprecred 9488 . . . . . . . 8
9 1red 7774 . . . . . . . 8
108, 9resubcld 8136 . . . . . . 7
11 cvgratnn.4 . . . . . . . . 9
127reclt1d 9490 . . . . . . . . 9
1311, 12mpbid 146 . . . . . . . 8
149, 8posdifd 8287 . . . . . . . 8
1513, 14mpbid 146 . . . . . . 7
1610, 15elrpd 9474 . . . . . 6
1716rpreccld 9487 . . . . 5
1817, 7rpdivcld 9494 . . . 4
19 fveq2 5414 . . . . . . . 8
2019eleq1d 2206 . . . . . . 7
213ralrimiva 2503 . . . . . . 7
22 1nn 8724 . . . . . . . 8
2322a1i 9 . . . . . . 7
2420, 21, 23rspcdva 2789 . . . . . 6
2524abscld 10946 . . . . 5
2624absge0d 10949 . . . . 5
2725, 26ge0p1rpd 9507 . . . 4
2818, 27rpmulcld 9493 . . 3
299, 5resubcld 8136 . . . . 5
305, 9posdifd 8287 . . . . . 6
3111, 30mpbid 146 . . . . 5
3229, 31elrpd 9474 . . . 4
337, 32rpdivcld 9494 . . 3
3428, 33rpmulcld 9493 . 2
355adantr 274 . . . 4
3611adantr 274 . . . 4
376adantr 274 . . . 4
383adantlr 468 . . . 4
39 cvgratnn.7 . . . . 5
4039adantlr 468 . . . 4
41 simprl 520 . . . 4
42 simprr 521 . . . 4
4335, 36, 37, 38, 40, 41, 42cvgratnnlemrate 11292 . . 3
4443ralrimivva 2512 . 2
454, 34, 44climcvg1n 11112 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480   class class class wbr 3924   cdm 4534  cfv 5118  (class class class)co 5767  cc 7611  cr 7612  cc0 7613  c1 7614   caddc 7616   cmul 7618   clt 7793   cle 7794   cmin 7926   cdiv 8425  cn 8713  cuz 9319   cseq 10211  cabs 10762   cli 11040 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  cvgratz  11294
 Copyright terms: Public domain W3C validator