Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climcvg1n GIF version

Theorem climcvg1n 11180
 Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
climcvg1n (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcvg1n
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcvg1n.f . 2 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
2 climcvg1n.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
3 climcvg1n.cau . 2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4 eqid 2141 . 2 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
5 fveq2 5433 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
65fveq2d 5437 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℑ‘(𝐹𝑥)))
76cbvmptv 4034 . 2 (𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
8 eqid 2141 . 2 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · ((𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦)))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · ((𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦)))‘𝑥)))
91, 2, 3, 4, 7, 8climcvg1nlem 11179 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112  ∀wral 2418   class class class wbr 3939   ↦ cmpt 3999  dom cdm 4551  ⟶wf 5131  ‘cfv 5135  (class class class)co 5786  ℂcc 7671  ici 7675   · cmul 7678   < clt 7853   − cmin 7986   / cdiv 8485  ℕcn 8773  ℤ≥cuz 9379  ℝ+crp 9499  ℜcre 10673  ℑcim 10674  abscabs 10830   ⇝ cli 11108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2114  ax-14 2115  ax-ext 2123  ax-coll 4053  ax-sep 4056  ax-nul 4064  ax-pow 4108  ax-pr 4142  ax-un 4366  ax-setind 4463  ax-iinf 4513  ax-cnex 7764  ax-resscn 7765  ax-1cn 7766  ax-1re 7767  ax-icn 7768  ax-addcl 7769  ax-addrcl 7770  ax-mulcl 7771  ax-mulrcl 7772  ax-addcom 7773  ax-mulcom 7774  ax-addass 7775  ax-mulass 7776  ax-distr 7777  ax-i2m1 7778  ax-0lt1 7779  ax-1rid 7780  ax-0id 7781  ax-rnegex 7782  ax-precex 7783  ax-cnre 7784  ax-pre-ltirr 7785  ax-pre-ltwlin 7786  ax-pre-lttrn 7787  ax-pre-apti 7788  ax-pre-ltadd 7789  ax-pre-mulgt0 7790  ax-pre-mulext 7791  ax-arch 7792  ax-caucvg 7793 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1732  df-eu 1993  df-mo 1994  df-clab 2128  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-nfc 2272  df-ne 2311  df-nel 2406  df-ral 2423  df-rex 2424  df-reu 2425  df-rmo 2426  df-rab 2427  df-v 2693  df-sbc 2916  df-csb 3010  df-dif 3080  df-un 3082  df-in 3084  df-ss 3091  df-nul 3371  df-if 3482  df-pw 3519  df-sn 3540  df-pr 3541  df-op 3543  df-uni 3747  df-int 3782  df-iun 3825  df-br 3940  df-opab 4000  df-mpt 4001  df-tr 4037  df-id 4226  df-po 4229  df-iso 4230  df-iord 4299  df-on 4301  df-ilim 4302  df-suc 4304  df-iom 4516  df-xp 4557  df-rel 4558  df-cnv 4559  df-co 4560  df-dm 4561  df-rn 4562  df-res 4563  df-ima 4564  df-iota 5100  df-fun 5137  df-fn 5138  df-f 5139  df-f1 5140  df-fo 5141  df-f1o 5142  df-fv 5143  df-riota 5742  df-ov 5789  df-oprab 5790  df-mpo 5791  df-1st 6050  df-2nd 6051  df-recs 6214  df-frec 6300  df-pnf 7855  df-mnf 7856  df-xr 7857  df-ltxr 7858  df-le 7859  df-sub 7988  df-neg 7989  df-reap 8390  df-ap 8397  df-div 8486  df-inn 8774  df-2 8832  df-3 8833  df-4 8834  df-n0 9031  df-z 9108  df-uz 9380  df-rp 9500  df-seqfrec 10279  df-exp 10353  df-cj 10675  df-re 10676  df-im 10677  df-rsqrt 10831  df-abs 10832  df-clim 11109 This theorem is referenced by:  cvgratnn  11361  cvgcmp2n  13447
 Copyright terms: Public domain W3C validator