Theorem climcvg1n 11358

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges, existence version. The rate of convergence is fixed: all terms after the nth term must be within 𝐶 / 𝑛 of the nth term, where 𝐶 is a constant multiplier. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
climcvg1n	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛

Proof of Theorem climcvg1n

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcvg1n.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2		climcvg1n.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
3		climcvg1n.cau	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
4		eqid 2177	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
5		fveq2 5516	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
6	5	fveq2d 5520	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (ℑ‘(𝐹‘𝑦)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
7	6	cbvmptv 4100	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
8		eqid 2177	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · ((𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑦)))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · ((𝑦 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑦)))‘𝑥)))
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	climcvg1nlem 11357	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  dom cdm 4627  ⟶wf 5213  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ici 7813   · cmul 7816   < clt 7992   − cmin 8128   / cdiv 8629  ℕcn 8919  ℤ_≥cuz 9528  ℝ⁺crp 9653  ℜcre 10849  ℑcim 10850  abscabs 11006   ⇝ cli 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287

This theorem is referenced by:  cvgratnn  11539  cvgcmp2n  14784