Theorem cnfldneg 14910

Description: The additive inverse in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldneg	|- ( X e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` X ) = -u X )

Proof of Theorem cnfldneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negid 8573	. 2 |- ( X e. CC -> ( X + -u X ) = 0 )
2		negcl 8526	. . 3 |- ( X e. CC -> -u X e. CC )
3		cnring 14907	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
4		ringgrp 14305	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
6		cnfldbas 14897	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
7		cnfldadd 14899	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
8		cnfld0 14908	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
9		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` ℂfld ) = ( invg ` ℂfld )
10	6, 7, 8, 9	grpinvid1 13857	. . . 4 |- ( (ℂfld e. Grp /\ X e. CC /\ -u X e. CC ) -> ( ( ( invg ` ℂfld ) ` X ) = -u X <-> ( X + -u X ) = 0 ) )
11	5, 10	mp3an1 1365	. . 3 |- ( ( X e. CC /\ -u X e. CC ) -> ( ( ( invg ` ℂfld ) ` X ) = -u X <-> ( X + -u X ) = 0 ) )
12	2, 11	mpdan 425	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( ( invg ` ℂfld ) ` X ) = -u X <-> ( X + -u X ) = 0 ) )
13	1, 12	mpbird 167	1 |- ( X e. CC -> ( ( invg ` ℂfld ) ` X ) = -u X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   -ucneg 8498   Grpcgrp 13805   invgcminusg 13806   Ringcrg 14300  ℂ_fldccnfld 14893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-rp 10055  df-fz 10412  df-cj 11607  df-abs 11765  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-starv 13446  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-unif 13454  df-0g 13612  df-topgen 13614  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-cmn 14089  df-mgp 14218  df-ring 14302  df-cring 14303  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-fg 14886  df-metu 14887  df-cnfld 14894

This theorem is used by:  cnfldsub  14912  cnfldmulg  14913  cnsubglem  14916