Theorem cnfld0 14851

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	|- 0 = ( 0g ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8433	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
2		cnring 14850	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
3		ringgrp 14250	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Grp )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- ℂfld e. Grp
5		0cn 8284	. . . 4 |- 0 e. CC
6		cnfldbas 14840	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
7		cnfldadd 14842	. . . . 5 |- + = ( +g ` ℂfld )
8		eqid 2234	. . . . 5 |- ( 0g ` ℂfld ) = ( 0g ` ℂfld )
9	6, 7, 8	grpid 13800	. . . 4 |- ( (ℂfld e. Grp /\ 0 e. CC ) -> ( ( 0 + 0 ) = 0 <-> ( 0g ` ℂfld ) = 0 ) )
10	4, 5, 9	mp2an 426	. . 3 |- ( ( 0 + 0 ) = 0 <-> ( 0g ` ℂfld ) = 0 )
11	1, 10	mpbi 145	. 2 |- ( 0g ` ℂfld ) = 0
12	11	eqcomi 2238	1 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5359  (class class class)co 6060   CCcc 8143   0cc0 8145   + caddc 8148   0gc0g 13559   Grpcgrp 13761   Ringcrg 14245  ℂ_fldccnfld 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-addf 8267  ax-mulf 8268

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-uz 9877  df-rp 10010  df-fz 10367  df-cj 11557  df-abs 11715  df-struct 13304  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-starv 13395  df-tset 13399  df-ple 13400  df-ds 13402  df-unif 13403  df-0g 13561  df-topgen 13563  df-mgm 13625  df-sgrp 13671  df-mnd 13684  df-grp 13764  df-cmn 14045  df-mgp 14166  df-ring 14247  df-cring 14248  df-bl 14826  df-mopn 14827  df-fg 14829  df-metu 14830  df-cnfld 14837

This theorem is referenced by:  cnfldneg  14853  cnfldmulg  14856  cnsubmlem  14858  gsumfzfsumlem0  14866  gsumfzfsumlemm  14867  zring0  14880  dvply2g  15763